Arbeitsblatt 13

Volumenberechnung mit Hilfe von Integralen

Diese Augabe greift die Untersuchung des One World Trade Centers in New York auf, das auch Gegenstand der folgenden Aufgabe ist:
 Analytische Geometrie, Aufgabe 32
Übrigens ist mir auch aus dem Bereich Stochastik etwas dazu eingefallen:
 Stochastik, Aufgabe 35

One World Trade Center Foto

 


Hier be­trach­ten wir jedoch nur den Gebäude­teil ober­halb des qua­der­för­mi­gen Sockels, dessen Form auch als Antiprisma bezeichnet wird.

Bildquelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Freedom_Tower_Russell_cropped.jpg

Aufgabe 13

Wir betrach­ten nun die Quer­schnitts­flä­che des Ge­bäu­de­teils vom One World Trade Center, der die Form eines Anti­prismas hat.
Das Ko­or­di­na­ten­system ist nun so gelegt, dass der Ko­ordi­naten­urspung in der Grund­flä­che des Anti­prismas liegt. Die Quer­schnitts­flä­che hängt von der Höhe x3 ab, ist also eine eine Funktion von x3.
Für diese Funktion gilt: \[ f(x_3)=38,44 - \frac{38,44}{2}\cdot \left(\frac{x_3}{36} \right)^2 \] Nennen wir die Höhe x statt x3, und vereinfachen wir den Term ein wenig, so wird \[ f(x)=38,44 - 19,22\cdot \left(\frac{x}{36} \right)^2 \]

  1. Bestätigen Sie, dass sich für x = 0 die Basisfläche und für die maximale Höhe x = 36 die Größe der Dach­fläche ergibt.
    Vergleichen Sie beide Flächen mit den Ergebnissen aus der analytischen Geometrie.
    Lösungshinweis
  2. Berechnen Sie die Größe der Querschnittsfläche in der Höhe x = 18 und zeigen Sie damit, dass die Etage auf halber Höhe nicht der Mittelwert von Grundfläche und Dachfläche ist.
    Lösungshinweis
  3. Berechnen Sie, in welche Höhe die Querschnittsfläche so groß wie der Mittelwert von Grund- und Dachfläche ist.
    Lösungshinweis
  4. Berechnen Sie die Ableitung der Funktion und ihren Extremwert.
    Lösungshinweis
  5. Die Funktion
    \(f(x)=38,44 - 19,22\cdot \left(\frac{x}{36} \right)^2\)
    stellt ja die Querschnittsfläche an der Stelle x dar.
    Antiprisma liegend
    Deshalb lässt sich mit Hilfe dieser Funktion das Volumen des Antiprismas ähnlich wie bei rotationssymmetrischen Körpern berechnen.
    Im Unterschied dazu ist jedoch hier f (x) bereits der Flächeninhalt der Querschnittsfläche, und nicht π·(f (x))2
    Berechnen Sie das Volumen dieses Körpers und vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der analytischen Geometrie.
    Lösungshinweise
A: Vi = 110,8 B: Va = 143,5
C: V =32,7  D: VZyl = 120,3

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