Arbeitsblatt 35

Thema: Wahrscheinlichkeit und Integral

Pyramidenstumpf

In den Aufgaben
 Analytische Geometrie, Aufgabe 32
 Analysis , Aufgabe 13
geht es um das One World Trade Center in New York. Ein Gebäude, dessen Hauptteil die hier dargestellte Form hat, die in den beiden referenzierten Aufgaben untersucht wurde.
Dazu kommt hier die Stochasik-Aufgabe:

Angenommen, alle 84 Stockwerke des Gebäudeteils, der die Form eines Antiprismas hat, wären in ihrer jeweiligen Ebene frei zugänglich (Flächen für Aufzüge, Ver- und Ensorgungsleitungen etc. blenden wir gedanklich aus).

Aufgabe 35
Ich suche meinen Freund Max, der sich irgenwo in diesem Gebäude aufhält. Ich weiß, dass er sich auf jedem m² der vorhanden Etagenflächen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit aufhält.

Da die erste Etage (die Grundfläche) die größte Fläche besitzt, ist hier die Wahrscheinlichkeit am größten. Die oberste Etage ist nur halb so groß wie die unterste, deshalb treffe ich ihn dort auch nur mit halb so großer Wahrscheinlichkeit an.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte für Aufenthalt in der Etage x sei annähernd durch die Funktion \[ p(x)=\frac{1}{70}\cdot \left(1 - 0,5\cdot \left(\frac{x}{84} \right)^2 \right) \]

Histogramm
  1. Bestätigen Sie, dass p(84) etwa halb so groß ist wie p(1).
    Lösungshinweis
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Max sich irgendwo zwischen der 29. und der 41. Etage aufhält (also in einer der Etagen Nr. 30, 31, 32, 33, … 40) durch ein Integral. Lösungshinweise
  3. Bestätigen Sie, dass mit dieser Funktion p(x) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Max irgendwo in diesem Gebäudeteil ist, ungefähr 1 ist (sonst wäre die Funktion ja nicht brauchbar.)
    Lösungshinweis
  4. Eine Standardabweichung für diesen Sachverhalt zu berechnen halte ich für schwierig, da ja keine Binomialverteilung vorliegt.
    Aber ein Erwartungswert ließe sich m.E. berechnen: Ich denke, man müsste ja jede Etagennummer x mit der Wahrscheinlichkeit p(x) multiplizieren und diese Werte für alle x aufsummieren. Statt der Summe würde man hier ein Integral berechnen, also \[\begin{align} &\int \limits_{1-0,5}^{84+0,5} {x \cdot p(x)} \; dx \\ &=\frac{1}{70}\cdot \int \limits_{1-0,5}^{84+0,5} \left(1\cdot x - 0,5\cdot \frac{x^3}{84^2} \right)\;dx \end{align}\] Berechnen Sie dieses Integral bequem mit dem Taschenrechner (ohne mühsam die Stammfunktionen zu notieren) und geben Sie an, ob Sie das Ergebnis für plausibel halten.
    Lösungshinweis

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C: D:

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