Arbeitsblatt 12 Volumenberechnung mit Hilfe von Integralen Passend zu dieser Analysis-Aufgabe gibt es für die Verpackung des Rotationskörpers je eine Aufgabe Analytische Geometrie, Aufgabe 31 Stochastik, Aufgabe 34 Aufgabe 12 Die Außenfläche des Kelches entsteht durch Rotation des Graphen von \(f\) um die x‑Achse, die Innenfläche entsprechend durch den Graphen von \(g\), mit \[ \begin{align} f(x)&=3 \cdot e^{-2x} + 0,5 x\quad &&0 \leq x \leq 8 \\ g(x)&=\sqrt{\left(\frac{x}{1,95}\right)^2 -1,5}\quad &&0 \leq x \leq 8 \end{align}\] Bestimmen Sie den Tiefpunkt der Funktion f. Lösungshinweis Zeigen Sie, dass f keinen Wendepunkt hat und untersuchen Sie das Vorzeichen von f '' im Hinblick auf die Krümmungsrichtung (Links- oder Rechtskrümmung?). Lösungshinweis Bestimmen Sie die Nullstelle von g und damit auch den Beginn des Definitionsbereichs dieser Funktion. Lösungshinweis Berechnen Sie das Volumen, mit dem der Kelch bis zum Rand gefüllt werden kann. Lösungshinweis Gesucht ist das Volumen, das vom Glas eingenommen wird. Beschreiben Sie zunächst, wie dieses Volumen berechnet werden kann. Stellen Sie den Ansatz für die Berechnung des Rotationsvolumens der äußeren Funktion auf. Mit dem Ansatz aus dem vorangegangen Aufgabenteil erhalten Sie nach dem Quadrieren von f (x) schließlich drei Integrale, von denen sich zwei problemlos berechnen lassen. Das dritte Integral ist von der Form ∫abx·e k·x dx, und lässt sich mit einer Stammfunktion folgendermaßen berechnen: \[ \int \limits_a^b x \cdot e^{k \cdot x}\,dx = \left[\left(\frac{1}{k} \cdot x - \frac{1}{k^2} \right) \cdot e^{k \cdot x} \right]_a^b \] Lösungshinweise Es wird behauptet, dass man das Rotationsvolumen berechnen könne, indem man den mittleren Wert von f im Intervall [0;8] bestimmt, und dann das Volumen eines Zylinders mit diesem Mittelwert als Radius berechnet. Überprüfen Sie diese Behauptung. Lösungshinweis A: Vi = 110,8 B: Va = 143,5 C: V =32,7 D: VZyl = 120,3 ◄◄ ◄ zurück Aufg.12 weiter ► ►► Chat-Forum