Arbeitsblatt 16

Hochspannungsleitung

Nach den Vorbereitungen durch die beiden vorangegangen Aufgaben geht nun die Untersuchung der hängenden Stromleitungen leicht von der Hand.
Wird der Längenunterschied zwischen Sommer und Winter sichtbar?

Die Aufhängepunkte der Leitung haben 220m Abstand und befinden sich in der Höhe 35m über dem Boden. Das Bild ist wieder so positioniert, dass die Aufhängepunkte symmetrisch zur y‑Achse liegen.

Wie in der vorigen Aufgabe hergeleitet, wird der Verlauf der frei hängenden Leitungen durch eine Funktion der folgenden Form beschrieben: \[ \boxed{f_a(x) = a\cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right) - a\cdot \cosh \left(\frac{c}{a}\right) + h} \] Dabei steht \(\pm c\) für die Position der Strommasten und \(h\) für die Höhe der Aufhängepunkte, alle Größen in \(\text{m}\).

Für die Länge der Kettenlinie zwischen den beiden Aufhängepunkten gilt die Formel \[ \ell = 2 a \cdot \sinh \left(\frac{c}{a}\right) \] (Herleitung: Siehe letzten Hinweis zu Aufgabe 15, Teil d)

Aufgabe 16

  1. Das Foto wurde an einem heißen Sommertag bei einer Temperatur von 30°C im Schatten aufgenommen.
    Eine recht gute Übereinstimmung des Funktionsgraphen mit dem Verlauf der Stromleitung ergibt sich im GeoGebra-Applet bei c=110 und h=35 mit dem Parameterwert a=980.
    Berechnen Sie die Länge des Leitungsabschnitts zwischen den Punkten A und B.
    Lösungshinweise
  2. Wie groß ist der Längenunterschied bei dieser Stromleitung zwischen einem heißen Sommertag und einem kalten Wintertag?
    Den Temperaturunterschied schätzen wir ab:
    Sommer: Lufttemperatur 33°, Leitungstemperatur etwa ähnlich. Auf dem Foto ist es am frühen Nachmittag etwas dunstig, im leichten Wind gibt es in 35m Höhe wahrscheinlich keine größere Erwärmung.
    Winter: Luft- und Leitungstemperatur z.B. -10°.
    Der Leitungsdraht wäre dann im Winter 43 Grad kälter als im Sommer.
    Der Längenunterschied kann mit der Formel \[ \Delta\ell = \ell \cdot \alpha \cdot \Delta T \] abgeschätzt werden.
    Dabei ist \(\alpha\) der Längenausdehnungskoeffizient des Materials.
    Für die Stromleitung wird α=16·10-6K-1 angesetzt. Ergänzende Hinweise
    Die Länge \(\ell\) übernehmen Sie aus Teil a).
    \(\Delta T\) steht für den Temperatur­unterschied.
    Berechnen Sie mit diesen Angaben, um wieviel cm die Stromleitung am kalten Wintertag kürzer ist als an dem heißen Sommertag.
    Lösungshinweise
  3. An dem heißen Sommertag wie auf dem Foto hat die Stromleitung zwischen den Aufhängepunkten A und B eine Länge von 220,46m und an einem kalten Wintertag nur 220,31m, vgl. Aufgabenteile a) und b).

    Wie wirkt sich die Längenänderung auf das Erscheinungsbild der Stromleitung aus?
    Gibt es einen merklichen Unterschied?
    Um das herauszufinden brauchen wir den Graphen der Funktion für den kalten Wintertag, genauer: der Parameter \(a\) in der Funktionsgleichung muss so bestimmt werden, dass der Leitungsabschnitt nur noch die Länge 220,31 hat, d.h. es muss gelten \[ \ell_W = 2 \cdot a_W \cdot \sinh \left(\frac{c}{a_W} \right) = 220,31 \] wobei \(a_W\) der Parameter für die Kurve im Winter ist.
    Versuchen Sie (z.B. durch Probieren), bei der Gleichung mit c=110 eine (Näherungs-)Lösung für \(a_W\) zu finden.
    Mit Hilfe des Schiebereglers im GeoGebra-Applet oben auf dieser Seite erkennen Sie immerhin, dass \(a_W\) deutlich größer als 980 sein muss, damit die Leitung kürzer ist und weniger durchhängt.
    Lösungshinweise
  4. Solange ich noch kein Foto von der Stromleitung, aufgenommen vom selben Standort an einem sehr kalten Wintertag, vorlegen kann, um es mit dem Bild vom heißen Sommertag zu vergleichen, müssen Sie mit dem GeoGebra-Applet oben vorlieb nehmen.
    Verändern Sie den Schieberegler für den Parameter a von 980 auf ungefähr 1200.
    Halten Sie die Wärmeausdehnung der Leitungen für beobachtbar?
    Aktualisierung
A: B:
C: D:

Chat-Forum

  
04.11.2023 20:14 kayeff
Ich bin der Meinung, dass der Unterschied im Durchhängen der Stromleitung ohne technische Hilfsmittel nicht zu sehen ist!
Man müsste zwei Fotos (Sommer/Winter) vom gleichen Standort übereinanderlegen, um den geringen Unterschied zu erkennen (halbtransparent, am PC).