Arbeitsblatt 14

Kettenlinie, Cosinus Hypberbolicus

Hochspannungsleitung

In einem Physikbuch aus meiner Schulzeit wurde behauptet, dass man die Wärmeausdehnung von Metallen z.B. bei Hochspannungsleitungen beobachten könne, die im Sommer tiefer durchhängen als im Winter.
Kann man das wirklich beobachten?
Ich bin mir nicht sicher – vielleicht sieht es im Winter nur so aus, weil dann die Bäume kein Laub tragen und es nur deshalb so scheint, als ob die Leitungen weniger tief durchhängen.
Da es unmöglich ist, sich das Bild aus dem Sommer für ein halbes Jahr einzuprägen, um dann einen Vergleich mit der Ansicht im Winter zu haben, könnte man zwei Fotos vom gleichen Standort in gleichem Maßstab übereinanderlegen, um zu prüfen, ob ein Unterschied sichtbar wird.

Solange aber noch kein entsprechendes Foto vorlliegt, aufgenommen an einem kalten Wintertag, befassen wir uns mathematisch mit dieser Frage. Zur Vorbereitung dient …

Kettenlinie

Aufgabe 14

Eine so genannte Kettenlinie entsteht, wenn eine Kette oder ein Seil an zwei Punkten aufgehängt wird und sich auf Grund der Erdanziehungskraft eine bestimmte Kurvenform ergibt.
Eine Kurve von solcher Form entsteht mathematisch als Graph der Funktion
\( f(x) = \frac{1}{2}\cdot \left(e^{+x} + e^{-x} \right) \)

Darstellung des Graphen in unterschiedlichen Ausschnitten:

Kettenlinie Diagramm 2 Kettenlinie Diagramm 1

 

  1. Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung der Kettenlinien-Funktion \( f(x) = \frac{1}{2}\cdot \left(e^{\;x} + e^{-x} \right) \).
    Sie werden feststellen, dass Sie ohne weiteres auch sofort die dritte, vierte, fünfte Ableitung der Funktion angeben können.
    Lösungshinweis
  2. Die Kettenlinien-Funktion heißt auch Cosinus Hyperbolicus: \[ \begin{align} & \cosh(x) = \frac{1}{2}\cdot \left(e^{\;x} + e^{-x} \right)\text{, Cosinus Hyperbolicus}\\ & \sinh(x) = \frac{1}{2}\cdot \left(e^{\;x} - e^{-x} \right)\text{, Sinus Hyperbolicus} \end{align} \] Mit diesen Definitionen gilt somit nach Teil a): \[\boxed{ \begin{align} \; \cosh'(x) = \sinh(x) \; \\ \; \sinh'(x) = \cosh(x) \; \end{align} } \] Daraus folgt, dass die zweite Ableitung des Cosinus Hypberbolicus wieder die ursprüngliche Funktion ergibt:
    \(\cosh''(x) = \cosh(x)\)

    Untersuchen Sie, wie oft Sie die normale Kosinusfunktion \(f(x)=\cos(x) \) ableiten müssen, um wieder die ursprüngliche Funktion zu erhalten.
    Lösungshinweis
  3. Für die trigonometrischen Funktionen gilt bekanntlich die Identität \(\; \sin^2(x) + \cos^2(x) =1 \; \).

    Weisen Sie nach, dass für die hyperbolischen Funktionen eine ähnliche Beziehung gilt, nämlich \[ \boxed{ \; \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \; } \] Quadrieren Sie dazu die im Aufgabenteil b) für \(\cosh(x)\) bzw. \(\sinh(x)\) gegebenen Terme und fassen Sie die Summen zusammen.
    Lösungshinweis

    4. Mit den bisherigen Aufgabenteilen haben Sie die hyperbolischen Funktionen schon ganz gut kennen gelernt und dabei den Umgang mit mit der e−Funktion wiederholt.
    Wenden wir uns jetzt der Berechnung der Länge eines Funktionsgraphen zu.
    Ist die Funktion auf dem Interval [a,b] differenzierbar, so gilt für die Länge ℓ des Graphen in diesem Intervall die folgende Formel \[ \ell = \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2}\;\text{d}x \]

  4. Berechnen Sie die Länge des Funktionsgraphen von \(\cosh(x)\) im Intervall [−1 ; 1] sowie im Intervall [−2,5 ; 2,5] und schätzen Sie ab, ob die berechneten Längen mit den Abbildungen des Funktionsgraphen oben auf dieser Seite übereinstimmen können.
    Tipps:
    •  Benutzen Sie für die Ableitung von \(\cosh(x)\) die Formel aus Teil b).
    •  Wenden Sie danach die Formel aus Teil c) an.
    Damit vereinfacht sich der Wurzelterm so weit, dass Sie das Integral ganz einfach mit einer Stammfunktion berechnen können, die sich aus den eingerahmten Formeln von Teil b) erschließen lässt.
    Weitere Lösungshinweise
A: B:
C: D:

Anmerkung zum Casio-Taschenrechner der Serie fx-991: die hyperbolischen Funktionen \(\sinh\) und \(\cosh\) sind vorhanden, aber nicht direkt über eine der Funktionstasten zu erreichen.
Tippen Sie bei diesem Modell die Optionstaste OPTN, danach wählen Sie mit der Taste  1  die hyperbolischen Funktionen aus.

Bildquellen:
Eigene Aufnahme (Hochspannungsleitung)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/04/Kette_Kettenkurve_Catenary_2008_PD.JPG (Eisenkette)

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