Arbeitsblatt 31

 

Zu dem Karton in dieser Aufgabe zur Analytischen Geometrie gibt es je eine Aufgabe aus der
 Analysis, Aufgabe 12 (Rotationskörper Glaskelch)
 Stochastik, Aufgabe 34 (falscher Würfel)

Zu dem besonders schön geformten Glaskelch gehört auch ein besonders geformter Karton, in dem das Kunstwerk zum Verkauf angeboten wird.
Dieser soll hier mit den Mitteln der Analytischen Geometrie untersucht werden.

Der Karton hat die Form eines Pyramidenstumpfs mit den Eckpunkten A, B, C, D, E, F, G und H.

Aufgabe 31
Die Eckpunkte des Kartons sind
A=(0,-3,-3), B=(0,-3, 3), C=(0, 3, 3), D=(0, 3,-3)),
E=(8,-4,-4), F=(8,-4, 4), G=(8, 4, 4), H=(8, 4,-4).

  1. Geben Sie die Vektoren \(\vec u = \overrightarrow{BF}\) und \(\vec v = \overrightarrow{BC}\) in Koordinatendarstellung an und berechnen Sie die Beträge (Längen) beider Vektoren.
    Lösungshinweis
  2. Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes aus \(\vec u\) und \(\vec v\) den Winkel, den diese beiden Vektoren einschließen.
    Zur Erinnerung: \(\vec u \cdot \vec v = \vert\vec u\vert\cdot\vert\vec v\vert\cdot\cos(\alpha)\).
    Lösungshinweis
  3. Stellen Sie die Gleichung der Geraden \(g_{\small\,\text{BF}}\,\) auf, die durch die Punkte B und F verläuft.
    Lösungshinweis
  4. Stellen Sie die Gleichung der Ebene \(E_{\small\text{BFC}}\,\) auf, die durch die drei Punkte B, F und C festgelegt ist. (Parameterform)
    Lösungshinweis
  5. Berechnen Sie einen Normalenvektor für \(E_{\small\text{BFC}}\,\).
    Geben Sie die Ebenengleichung von \(E_{\small\text{BFC}}\,\) in Normalenform und Koordinatenform an.
    Lösungshinweise
  6. Bestimmen Sie einen Normalenvektor für die Ebene \(E_{\small\text{BAF}}\,\) und bestimmen Sie mit Hilfe ihrer Normalenvektoren den Winkel, den die beiden Ebenen \(E_{\small\text{BFC}}\,\) und \(E_{\small\text{BAF}}\,\) miteinander bilden.
    Lösungshinweise
  7. Mit der Formel \(\mathcal{A} = \frac{1}{2}\cdot\vert\vec u \times \vec v \vert\) können Sie bekanntlich den Flächeninhalt des von den Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) aufgespannten Dreiecks berechnen.
    (Ohne den Faktor ½ wäre es der Flächeninhalt des von \(\vec u\) und \(\vec v\) aufgespannten Parallelogramms)
    Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes BFGC, indem Sie diese Fläche geeignet aus zwei Teildreiecken zusammensetzen.
    Lösungshinweise
  8. Der vollständige Karton hat die Form eines Pyramidenstumpfes. Berechnen Sie das Volumen dieses Kartons.
    (Eine Möglichkeit wäre, den Pyramidenstumpf nach links zu einer vollständigen Pyramide zu ergänzen und vom Volumen dieser großen Pyramide das Volumen der ergänzten Pyramide wieder abzuziehen)
    Lösungshinweise
A: Vi = 97,07° B: Va = 90,88°
C: V =56,4  D: VZyl = 394,7

Chat-Forum