Lösungshinweise Aufgabe 31 b
Vorab lässt sich schon einmal sagen, dass der gesuchte Winkel zwischen den Vektoren
BF→
und
BC→
etwas größe als 90° sein muss.
Die genaue Berechnung erfolgt mit der Formel
\(\vec u \cdot \vec v = \vert\vec u\vert\cdot\vert\vec v\vert\cdot\cos(\alpha)\):
\[
\pmatrix{8\\-1\\1}\cdot\pmatrix{0\\6\\0}=\left|\pmatrix{8\\-1\\1}\right|\cdot\left|\pmatrix{0\\6\\0}\right|\cdot \cos(\alpha)
\]
\[
8\cdot 0 + (-1)\cdot 6 + 1\cdot 0 \;=\; \sqrt{66} \,\cdot\, 6\, \cdot\,\cos(\alpha)
\]
\[
\quad -6 \;=\; \sqrt{66} \,\cdot\, 6\, \cdot\,\cos(\alpha)
\]
\[
\cos(\alpha) \;=\; \frac{-6}{6 \cdot \sqrt{66}} \;=\; -\frac{1}{\sqrt{66}}
\]
\[
\alpha\;=\;\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{66}}\right)
\]
\[\alpha\;\approx\; 97,07° \qquad\]
Der Winkel ist also auch nach dieser Berechnung etwas größer als 90°.