Lösungshinweise Aufgabe 31 e
Ein Normalenvektor zur Ebene \(E_{\small\text{BFC}}\,\) kann durch das Vektorprodukt von zwei Richtungsvektoren berechnet werden: \[ E_{\,\small\text{BFC}}: \quad \vec x = \pmatrix{0\\-3\\3} \;+\; r \cdot \pmatrix{8\\-1\\1} \;+\; r \cdot \pmatrix{0\\6\\0} \] und \[ \vec n \,=\, \vec u \times \vec v \] \[ \vec n \,=\, \pmatrix{8\\-1\\1} \times \pmatrix{0\\6\\0} \,=\, \pmatrix{-6\\0\\48} \] (Wenn Sie gerade nicht mehr wissen, wie das Vektorprodukt berechnet wird, sehen Sie bei Aufgabe 21 im Hinweis nach)
Die allgemeine Normalenform der Ebenengleichung lautet
\[
E:\quad \vec n \cdot \left[\vec x - \vec a\right]\;=\;0
\]
wobei \(\vec n\) der Normalenvektor der Ebene und \(\vec a\) der Stützvektor ist.
In unserem Fall ist also
\[
E_{\,\small\text{BFC}}:\quad \pmatrix{-6\\0\\48} \cdot \left[\vec x - \pmatrix{0\\-3\\3}\right]\;=\;0
\]
die Normalenform der Ebenengleichung.
Die Koordinatenform der Ebenengleichung erhält man durch Ausmultiplizieren.
Das bedeutet, der Normalenvektor wird mit
dem Vektor \(\vec x = \small\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}\) und
dem Stützvektor \(\vec a = \small\pmatrix{0\\-3\\3}\)
multipliziert:
\[
\pmatrix{-6\\0\\48}\cdot \vec x \;-\; \pmatrix{-6\\0\\48}\cdot\pmatrix{0\\-3\\3}\;=\;0
\]
\[
-6 x_1 + 0 x_2 + 48x_3 \;-\; \left(-6\cdot 0 + 0\cdot (-3) + 48\cdot 3\right)\;=\;0
\]
\[
E_{\,\small\text{BFC}}:\quad -6 x_1 + 0 x_2 + 48x_3 \;-\; 144\;=\;0
\]
oder
\[
E_{\,\small\text{BFC}}:\quad -6 x_1 + 48x_3 \;=\;144
\]
Die beiden letzten beiden Ebenengleichungen werden als Koordinatenform bezeichnet.
Anmerkung: Wer kleinere Zahlen bevorzugt, kann die Koordinatenform der Ebenengleichung auf beiden Seiten durch 6 dividieren und erhält \[ E_{\,\small\text{BFC}}:\quad - x_1 + 8 x_3 \;=\;24 \] Zur selben Gleichung wäre man auch gekommen, wenn man bereits oben den Normalenvektor durch 6 geteilt, also auf ein Sechstel seiner Länge gekürzt hätte.