Arbeitsblatt 30

Thema: Cam carpets

Camcarpets1

Sicher haben Sie bei Fernsehübertragungen von Fussballspielen der Bundesliga die Werbetafeln bemerkt, die links und rechts vom Tor dicht an der Torlinie stehen.
Haben Sie sich schon einmal gefragt, ob dadurch nicht ein Verletzungsrisiko für die Spieler entstehen könnte?
Wenn Sie sehr aufmerksam am Fernsehbildschirm zuschauen, sind Ihnen vielleicht zwei Dinge aufgefallen:

Wenn Sie diese Beobachtungen noch nicht gemacht haben, sollten Sie unbedingt einmal darauf achten.
Und wenn Sie sich nicht für Fußball interessieren, sehen Sie sich trotzdem mal kurz die Szenen im Sportbericht der Tagesschau am Wochenende daraufhin an!

Doch wie funktioniert der Trick mit diesen Werbetafeln eigentlich?
Wir lassen uns von unserem Gehirn - wie schon im vorigen Aufgabenblatt - täuschen. In Wirklichkeit gibt es gar keine aufgestellten Werbetafeln. Stattdessen sind geschickt designte Teppiche, so genannte Cam Carpets, am Spielfeldrand ausgelegt.

Ich habe das für Sie einmal mit GeoGebra nachgezeichnet:

Haben Sie bitte etwas Geduld, wenn das GeoGebra-Applet etwas träge reagiert. Aber es sollte möglich sein, die Darstellung frei zu drehen und zu neigen.
Mit einem Kontrollkästchen können Sie sich das virtuelle Bord anzeigen lassen, das Ihr Gehirn aus der Darstellung entwirft, wenn die Standard-Ansicht vorliegt.
Mich erstaunt es immer wieder, wie sich mein Gehirn dagegen sträubt, bei dieser Darstellung einen ausgelegten Teppich zu erkennen. Das liegt natürlich auch an dem ebenfalls zum Teppich gehörenden Schatten und daran, dass wir gewohnt sind, dass z.B. im Buchstaben E nur rechte Winkel vorliegen.

Camcarpet-Design

Betrachtet man das Spielfeld senkrecht von oben, so ist zu erkennen, dass der Teppich in Wirklichkeit etwa so aussieht wie hier dargestellt.

Ist es kompliziert, so einen Teppich zu konstruieren?

Mit den Mitteln der Analytischen Geometrie ist es im Prinzip sehr einfach, so einen Teppich zu entwerfen:
Man benötigt nur
− die Koordinaten der Kameraposition
− die Koordinaten der Werbetafel

Kontruktionsbild

Von der Kameraposition C werden Geraden oder Strahlen durch die Eckpunkte der Werbetafel konstruiert und die Schnittpunkte mit der xy‑Ebene bestimmt.
Für die Punkte P1 und P2 braucht nichts konstruiert zu werden, da sie ohnehin schon in der xy‑Ebene liegen.
Für die Kamera ist es nun egal, ob die Punkte P3 und P4 von ihr erfasst werden oder die Punkte P3' und P4', da sich aus der Kameraperspektive z.B. P3 und P3' überdecken und nicht unterschieden werden können.
Für das Kamerabild spielt es somit keine Rolle, ob das Rechteck P1P2P3P4 oder das auf dem Boden liegende Viereck P1P2P3'P4' aufgenommen wird.

Der räumliche Eindruck wird verstärkt, indem man dem Bord noch eine gewisse Dicke gibt. Dann kommen zu den bisherigen vier Punkten noch die Punkte P5, P6, P7 und P8 hinzu.
P5 und P6 liegen schon in der xy‑Ebene, so dass nur zwei Strahlen für die Projektion der Punkte P7 und P8 ergänzt werden müssen.

Meistens wird noch ein weiterer Trick angewendet, um den räumlichen Eindruck noch weiter zu verstärken: Dazu wird ein Schattenwurf simuliert.
Dieser Schatten ist unabhängig von der wirklichen Position der Sonne! Er ist einfach da – auch wenn der Himmel bedeckt ist, wenn es regnet, oder das Spiel spät abends im Flutlicht stattfindet.
Während das Bild zunächst wie oben beschrieben durch eine eine so genannte Zentralprojektion (Zentrum = Kameraposition C) erzeugt wird, entsteht der Schatten durch eine Parallelprojektion:
Alle 8 Punkte werden durch zueinander parallele Geraden auf die xy‑Ebene projiziert.
Bei meinem GeoGebra-Applet habe ich zuerst den Schatten des virtuellen Bords in der xy‑Ebene konstruiert und dann die blau-gelbe Fläche ein winziges Stückchen höher gelegt, damit sie den Schatten wieder überdeckt.

Aufgabe 30
Nehmen Sie an, die Torlinie ist die x‑Achse. Die Eckpunkte des virtuellen Bords sind
P1=(4|0|0), P2=(8|0|0), P3=(8|0|1,25) und P4=(4|0|1,25).
Die Kameraposition sei C=(40|-50|20).

  1. Berechnen Sie die Eckpunkte des Schattenvierecks. Als Richtungsvektor für die Sonnenstrahlen können Sie verwenden
    \(\vec{u}=\pmatrix{0,125 \\ 1 \\ -1 }\).
  2. Berechnen Sie die Eckpunkte des Cam Carpets.
  3. Zeichnen Sie Ihren Cam Carpet mit Hilfe der Ergebnisse von Teil a. und Teil b.
  4. Nur wenn Sie mit GeoGebra arbeiten, können Sie einen Buchstaben auf das Bord setzen - handschriftlich würde das zu aufwendig werden.
    Wählen Sie dann möglichst einfache Buchstabenformen ohne Bögen aus, oder ersetzen Sie Bögen durch möglichst wenige gerade Strecken. Wenn Sie die Linienstärke 1 wählen, benötigen Sie für den Buchstaben I nur zwei Punkte, für ein T vier Punkte, für ein E 6 Punkte. Wenn Sie die Buchstaben als Vieleck darstellen wollen (wie in meinem Beispiel oben), benötigen Sie für diese Buchstaben schon jeweils doppelt so viele Punkte!

P3' sei der von der Kamera aus projizierte Bildpunkt von P3.
P4' sei der von der Kamera aus projizierte Bildpunkt von P4.
P3'' sei der von der Sonne aus projizierte Bildpunkt von P3.
P4'' sei der von der Sonne aus projizierte Bildpunkt von P4.
Überprüfen Sie die Ergebnisse:

A: P3'≈(5,87|3,33|0) B: P3'≈(1,6|10/3|0)
C: P3''≈(8,16|1,25|0) D: P4''≈(4.17|1,25|0)

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