Arbeitsblatt 11

Volumenberechnung mit Hilfe von Integralen

Wenn der Graph der Funktion f(x) um die x‑Achse rotiert, entsteht ein rotations­symmetrischer Körper. Der Graph ist hier begrenzt auf das Intervall [0;8].
Mit der Funktion f (x) = √2 sin( x − 1) + 4 ergibt sich z.B. eine Form, die eine Blumenvase darstellen könnte.

Das Volumen könnte zunächst näherungs­weise dadurch berechnet werden, dass man den Rotationskörper in Scheiben zerlegt, und diese als Zylinder­volumen berechnet und aufsummiert.
Je feiner die Zerlegung vorgenommen wird, desto genauer wird das aufsummierte Zylinder­volumen mit dem Volumen des Rotations­körpers übereinstimmen.
Die i-te Zylinderscheibe hat das Volumen \(\pi\cdot r_i^{ 2}\cdot \Delta x\), und der Radius \(r_i\) ist der i-te Funktionswert, also \(f(x_i)\).
Um das Volumen genau zu berechnen, wird die Summe
\( \sum \limits_{i=1}^{n}{\pi (f(x_i))^2 \cdot \Delta x} \) durch das Integral \( \int \limits_0^8 \pi \left( f(x) \right)^2 dx \)
ersetzt. Dementsprechend lautet die allgemeine Formel zur Volumen­berechnung für einen Rotationskörper, der aus einer Funktion f  über einem Intervall von a  bis b  entsteht: \[ V = \pi \int \limits_a^b \left( f(x) \right)^2 dx \]

Aufgabe 11
Berechnen Sie das Volumen der oben dargestellten Vase.
Beachten Sie, dass im Integral das Quadrat des Funktionsterms steht, wodurch sich die Wurzel aufhebt und die Berechnung einfacher wird, als es auf den ersten Blick aussieht.
Hinweis 1

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