Lösungshinweise Aufgabe 12 e
\(
\begin{align}
V &= \pi \cdot \int \limits_0^8 \left(f(x) \right)^2dx \\
&= \pi \cdot \int \limits_0^8 \left( 3 \cdot e^{-2 x} + 0,5 x \right)^2 dx\\
\end{align}
\)
Auch hier ist es zweckmäßig, den Faktor π auf die linke Seite zu bringen,
damit er im folgenden nicht so oft auf der rechten Seite geschrieben werden muss.
\( \begin{align} \frac{V}{\pi} &= \int \limits_0^8 \left( 3 \cdot e^{-2 x} + 0,5 x \right)^2 dx \\ &= \int \limits_0^8 \left( (3 \cdot e^{-2 x})^2 + 2 \cdot 3 \cdot e^{-2 x} \cdot 0,5 x + (0,5 x)^2 \right) dx \\ &= \int \limits_0^8 \left( 9 \cdot e^{-4 x} + 3 x \cdot e^{-2 x} + 0,25 x^2 \right) dx \\ \end{align} \)
Hier wurde die 1. binomische Formel verwendet und beachtet, dass
\(\left( e^{-2x}\right)^2 = e^{-2x\cdot 2} = e^{-4x}\) ist.
Im nächsten Schritt zerlegen wir das Integral in drei einzelne Integrale:
\( \begin{align} \frac{V}{\pi} &= \int \limits_0^8 \left( 9 \cdot e^{-4 x} + 3 x \cdot e^{-2 x} + 0,25 x^2 \right) dx \\ &= \int \limits_0^8 9 \cdot e^{-4 x} dx + \int \limits_0^8 3 x \cdot e^{-2 x} dx + \int \limits_0^8 0,25 x^2 dx \\ &= I_1 \qquad + \qquad I_2 \qquad + \qquad I_3 \\ \end{align} \)
Nun berechnen wir die einzelnen Integrale, wobei wir uns zunächst die beiden einfacheren Integrale \(I_1\) und \(I_3\) vornehmen.
\(
I_1 = \int \limits_0^8 9 e^{-4x} dx = \left[9\cdot \frac{1}{-4}e^{-4x} \right]_0^8
\)
\(
I_1 = -2,25 \cdot e^{-32} + 2,25 \cdot e^0
\)
\(
I_1 \approx -2,85 \cdot 10^{-14} + 2,25 \cdot 1 \approx 2,25
\)
Der erste Summand -2,25·e-32 liegt wirklich schon sehr nahe bei 0.
\(
I_3 = \int \limits_0^8 0,25\, x^2\; dx = \left[0,25\cdot \frac{1}{3}x^{3} \right]_0^8
\)
\(
I_3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 8^3 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{128}{3} \approx 42,67
\)
Die Schwierigkeit beim Integral
\(
I_2 = \int \limits_0^8 3\,x\cdot e^{-2x} \,dx = 3 \int \limits_0^8 x\cdot e^{-2x} \,dx
\)
liegt darin, dass hier über ein Produkt integriert werden muss.
Man darf nicht einfach für jeden Faktor einzeln eine Stammfunktion bilden,
denn beim Ableiten wäre die Produktregel anzuwenden, und dann käme nicht
wieder die Funktion heraus, über die integriert werden soll.
Es gibt verschiedene Methoden, um eine Stammfunktion für \(x\cdot e^{-2x}\) zu ermitteln.
Ein Verfahren ist die Partielle Integration
.
Zu diesem Verfahren finden Sie Informationen im Oberstufen-Mathematikbuch oder im Internet.
Hier ist eine Stammfunktion im Aufgabentext gegeben. Mit
k = −2 folgt
\(
I_2=3\int \limits_0^8 x \cdot e^{-2 \cdot x}\,dx
\)
\(
I_2= 3\cdot \left[\left(\frac{1}{-2} \cdot x - \frac{1}{(-2)^2} \right) \cdot e^{-2 \cdot x} \right]_0^8
\)
\(
I_2 = 3 \cdot\left[\left(-\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \right) \cdot e^{-2 \cdot x} \right]_0^8
\)
\(
I_2 = 3\cdot\left(\left(-\frac{8}{2} - \frac{1}{4} \right) \cdot e^{-16} - \left(-\frac{0}{2} - \frac{1}{4} \right) \cdot e^{0}\right)
\)
\(
I_2 = 3\cdot\left(-4,25 \cdot e^{-16} + 0,25 \cdot 1\right)
\)
\(
I_2 \approx 3\cdot 0,25 = 0,75
\)
Mit diesen drei Zwischenergebnissen erhalten wir
\(
\frac{V}{\pi} = I_1 + I_2 + I_3
\)
\(
\frac{V}{\pi} \approx 2,25 + 42,67 + 0,75 =45,67
\)
und somit
\(
V \approx 45,67\cdot \pi \approx 143,5
\)
Das Volumen des äußeren Rotationskörpers ist also Va ≈ 143,47
Volumeneinheiten.
Nach Aufgabenteil d) ist das Volumen des inneren Rotationskörpers
Vi ≈ 110,8.
Das Glasvolumen ist die Differenz
\(V \approx 143,5 - 110,8 = 32,7\)