Arbeitsblatt 20

Thema: Binomialverteilung

Aufgabe 20
Ein kleiner Multiple Choice Test besteht aus 5 Fragen.
Zu jeder Frage gibt es 3 Antworten zur Auswahl, von denen jeweils nur eine richtig ist.
Ein Kandidat nimmt an diesem Test teil, hat aber zu dem Thema überhaupt keine Kenntnisse und kreuzt bei jeder Frage eine Antwort nach dem Zufallsprinzip an.

Im folgenden soll die Zufallsgröße für X die Anzahl der richtig beantworteten Fragen stehen.

  1. Bevor Sie das Baumdiagramm zeichnen:
    Überlegen Sie sich, wie viele Pfadenden das vollständige Diagramm hat!
    Tipp
     
  2. Zeichnen Sie das Baumdiagramm.
    Tipp: Wenn Sie es gewohnt sind, Baumdiagramme von links nach rechts zu zeichnen, nehmen Sie hier einmal den umgekehrten Weg: Beginnen Sie rechts mit so viele Punkte untereinander wie es Pfadenden nach Teil a gibt.
    Tragen Sie an jeden Pfad die zugehörige Wahr­schein­lich­keit an.
    Beispiellösung
     
  3. Berechnen Sie die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass der Kandidat alle Fragen zufällig richtig angekreuzt hat, also P(X=5).
    Berechnen Sie die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass der Kandidat alle Fragen falsch angekreuzt hat, also P(X=0).
    Tipp
     
  4. Berechnen Sie die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass der Kandidat genau eine Frage richtig beantwortet hat, also P(X=1).
    Berechnen Sie dazu die Wahr­schein­lich­keit für einen zu diesem Ereignis gehörenden Pfad und überlegen Sie sich, wie viele Pfade zu diesem Ereignis gehören.
    Lösung
     
  5. Zu berechnen ist die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass der Kandidat zufällig zwei der fünf Fragen richtig angekreuzt hat, also P(X=2).
    Dazu müssen Sie wissen, wie viele Pfade zu diesem Ereignis gehören. Nutzen Sie dafür ihre Kenntnisse aus der Kombinatorik (vgl. Aufgabe 19):
    Wie viele Möglichkeiten gibt es, die zwei richtigen Kreuze auf die fünf Fragen zu verteilen (oder zwei Fragen aus fünf Fragen auszuwählen)?
    Lösung
     
  6. Berechnen Sie nun noch ähnlich wie im vorigen Aufgabenteil die Wahr­schein­lich­keiten P(X=3) und P(X=4).
    Tipp
     
  7. Stellen Sie Ihre Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle zusammen und berechnen Sie den Erwartungswert für die die Anzahl der vom Kandidaten zufällig richtig beantworteten Fragen.
    Lösungshinweise
     
  8. Zum Schluss können Sie die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung noch durch ein Histogramm graphisch veranschaulichen.
    Histogramm
     
A: B:
C: D:

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