Für die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Fragen richtig angekreuzt werden (und die beiden anderen falsch), ergibt sich analog zum vorigen Aufgabenteil \[ P(X=3)~=~ \binom{5}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \approx 0,164609 \approx 16\% \]
Der Term \[ P(X=4)~=~ \binom{5}{4}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 \] dürfte nun keine Schwierigkeiten bereiten.
Mit den bisherigen Überlegungen wird die allgemeine Formel für \(k\) richtige Antworten im Multiple Choice Test mit n=5 Fragen und der Wahrscheinlichkeit p=1/3 für die richtige Antwort bei der einzelnen Frage verständlich: \[ P(X=k) = \binom{5}{k}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^k \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{5-k} \]
Allgemein gilt bei einem Zufallsversuch mit n Stufen, bei dem es auf jeder Stufe nur zwei mögliche Ausgänge mit den Wahrscheinlichkeiten p bzw. 1-p gibt, die Formel \[ P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] Ein n-stufiger Zufallsversuch mit den genannten Eigenschaften heißt auch Bernoulli-Kette.