Arbeitsblatt 15 Kettenlinie Die Aufhängepunkte der Kette haben 2m Abstand und befinden sich in der Höhe h = 0,57m über dem Boden. Das Bild ist so positioniert, dass die Aufhängepunkte symmetrisch zur y‑Achse liegen, und zwar bei x = −c und x = c. In diesem Fall ist c = 1. Im GeoGebra-Applet sind die Aufhängepunkte P(-1|0,57) und Q( 1|0,57) weiß dargestellt. Wir versuchen nun, die Kurve der Kette durch eine Cosinus-Hyperbolicus-Funktion zu beschreiben. Um die passende Form zu erhalten, muss der Graph von \(f(x)=\cosh(x)\) um einen geeigneten Faktor vergrößert werden und dann muss die Funktion auch noch so weit parallel zur y‑Achse verschoben werden, dass der Graph durch P und Q verläuft. Die Vergrößerung wird durch eine Streckung in x- und in y‑Richtung um den gleichen Faktor a erreicht: \(\quad f_a(x)=a\cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right)\) Die Graphen der Funktionen dieser Schar verlaufen jedoch abhängig von a an den Stellen x = −c bzw. x = c in unterschiedlichen Höhen, aber in der Regel nicht durch die Punkte P und Q. (Ansehen? Strecken von cosh(x)) Damit die Graphen unabhäng vom Parameter a stets durch P und Q verlaufen, werden die Graphen zunächst um so viel nach unten verschoben, dass sie bei x = ±c die x‑Achse schneiden: \(\quad f_a(x)=a\cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right) - a\cdot \cosh \left(\frac{c}{a}\right)\) (Ansehen? Verschieben von a·cosh(x/a)) Danach muss der Graph nur noch um die Höhe h nach oben verschoben werden. Die gesuchte Kettenlinie wird also durch eine Funktion von folgender Form beschrieben: \[ \boxed{f_a(x) = a\cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right) - a\cdot \cosh \left(\frac{c}{a}\right) + h} \] Alle Graphen dieser Funktionenschar verlaufen durch die Punkte P(−c | h) und Q( c | h). Dabei nehmen wir die Positionen c (und −c) sowie die Höhe h als gegeben an, der Parameter a bestimmt dann die Form (und damit auch die Länge) der Kettenlinie. Aufgabe 15 Im GeoGebra-Applet oben ist der Graph der Funktion mit \(c=1\) und \(h=0,57\), also \( \quad f_a(x) = a\cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right) - a\cdot \cosh \left(\frac{1}{a}\right) + 0,57 \) dargestellt. Untersuchen Sie mit Hilfe des Schiebereglers den Einfluss des Parameters a auf den Verlauf der Kurve. Bestätigen Sie, dass mit dem Wert a = 1,11 die Kurve der Kette recht gut getroffen wird. Ist es möglich, den Wert für den Parameter a so zu berechnen, dass die Linie der Eisenkette bestmöglich getroffen wird? Da alle Kurven der Schar durch die Punkte P und Q verlaufen, ist die Kettenlinie allein durch diese Punkte noch nicht eindeutig bestimmt. Es wird noch eine weitere Information benötigt. Das kann die Länge der Kette sein, oder ein weiterer Punkt auf der Kurve. Die Länge der Kette kann aus der Abbildung im GeoGebra-Applet nicht abgelesen werden, stattdessen aber der tiefste Punkt, der bei x=0 ungefähr den y‑Wert d=0,09 hat, also bei (0 | 0,09) liegt. Setzen Sie die Koordinaten dieses Punktes (0 | d) in die Funktionsgleichung ein und stellen Sie damit eine Gleichung zur Bestimmung des Parameters a auf. Anmerkung: Diese Gleichung lässt sich nicht nach a auflösen. Lösungshinweis: Gleichung aufstellen Lassen Sie sich mit Hilfe des CAS-Moduls von GeoGebra oder vom Taschenrechner der Serie Casion fx-991 eine Lösung der Gleichung aus Teil b) suchen. Auch diese Systeme können die Gleichung nicht explizit nach a auflösen, sondern versuchen, mit einem geeigneten Algorithmus einen möglichst guten Näherungswert zu ermitteln. Lösungshinweis für GeoGebra Lösungshinweis für Casio fx-991 Schätzen Sie, wie lang die Kette ungefähr sein könnte und berechnen Sie dann die Länge (ähnlich wie in Aufgabe 14d) genau mit Hilfe eines Integrals. Sie können die Ableitung berechnen und dann einen recht langen, komplizierten Term für das Integral in den Taschenrechner eingeben. Sie können aber auch – ähnlich wie in den Lösungshinweisen zu Aufg. 14d) – eine Stammfunktion für das Integral berechnen und damit einen sehr einfachen Term für die gesuchte Länge erstellen. Lösungshinweis TR Lösungshinweis Stammfunktion A: B: C: D: ◄◄ ◄ zurück Aufg.15 weiter ► ►► Chat-Forum