Die Berechnung erfolgt ähnlich wie in Aufgabe 14 d),
mit dem Unterschied, dass nun die Funktion \(f\) den Parameter \(a\)
enthält.
Die allgemeine Formel für die Länge lautet
\(
\ell = \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2}\;\text{d}x
\)
Die Funktion ist
\(
f(x) = a\cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right) - a\cdot \cosh \left(\frac{c}{a}\right) + h
\)
Für die Längenformel benötigen wir die Ableitung:
\(
f'(x) = a\cdot\frac{1}{a}\cdot \sinh \left(\frac{x}{a}\right)
\)
\(
f'(x) = \sinh \left(\frac{x}{a}\right)
\)
Mit den Grenzen -c und +c ist
\(
\ell = \int\limits_{-c}^{c}\sqrt{1 + \left(\sinh\left(\frac{x}{a}\right)\right)^2}\;\text{d}x\;
\)
Nun ist aber \(1 + \sinh^2(x) = \cosh^2(x) \)
für beliebiges Argument \(x\) (vgl. Aufg. 14), also auch für \(\frac{x}{a}\).
Damit vereinfacht sich die Formel zu
\(
\ell = \int\limits_{-c}^{c}\sqrt{\cosh^2\left(\frac{x}{a}\right)}\;\text{d}x\;
\).
Die Wurzel kann man ziehen, da \(\cosh\left(\frac{x}{a}\right)\) stets positiv ist.
\(
\ell = \int\limits_{-c}^{c}\cosh\left(\frac{x}{a}\right)\;\text{d}x\;
\).
Eine Stammfunktion zu \(\cosh\left(\frac{x}{a}\right)\) ist
\(a\cdot\sinh\left(\frac{x}{a}\right)\).
Damit wird
\(
\ell = \left[a\cdot\sinh\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{-c}^{c}
\), also
\(
\ell = a\cdot\sinh\left(\frac{c}{a}\right) \;-\; a\cdot\sinh\left(\frac{-c}{a}\right)
\)
\(
\boxed{\ell = 2 a\cdot\sinh\left(\frac{c}{a}\right)}
\)
Mit c=1 und a=1,11 kommt jetzt der Taschenrechner zum Einsatz,
\(
\ell = 2\cdot 1,11\cdot\sinh\left(\frac{1}{1,11}\right) \approx 2,281734229
\)
Das Ergebnis ist natürlich dassselbe wie bei der Berechnung mit der Integraltaste
des Taschenrechners - aber ich finde diesen Weg wesentlich eleganter,
und das, was man letztlich noch in den Taschenrechner einzugeben hat,
ist sehr übersichtlich.
Die Kette zwischen den beiden Pfeilern ist also ungefähr 2,28m lang.