Arbeitsblatt 15

Thema: Abstand Punkt - Gerade
Diese Aufgabe ist recht anspruchsvoll, und ohne die angebotenen Hinweise zu lesen eine echte Herausforderung.

Aufgabe 15

Eine Gerade g ist durch die Punkte A = ( 2 ∣ 4 ∣ 3 ) und B = ( 4 ∣ 3 ∣ 2 ) definiert.
Außerdem ist der Punkt P = ( 2 ∣ −4 ∣ 2 ) gegeben.

Berechnen Sie den Abstand vom Punkt P zur Geraden g.
Sie können dazu das Verfahren oder die Formel aus Aufgabe 14 verwenden.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L (Lotfußpunkt). L liegt an der Stelle, an der das Lot von P auf g die Gerade trift.
Überlegen Sie sich einen geeigneten Ansatz.

Wenn die Idee für einen Lösungsansatz nicht kommen will, lesen Sie einfach weiter …

Schreiben Sie sich eine Darstellung für den Vektor von P nach L auf. Da Sie die Koordinaten von L nicht kennen, müssen Sie die Eigenschaft verwenden, dass L ja auf der Geraden g liegt, und somit mit der Geradengleichung beschrieben werden kann.
Dazu können Sie hier weitere Hilfen ansehen: Hinweis 1.

Wenn Sie eine Darstellung für den Vektor \(\overrightarrow{PL}\) gefunden haben, können Sie auf verschiedenen Wegen weiter vorgehen.
Zwei Möglichkeiten seien hier vorgeschlagen:
- Das Skalarprodukt des Vektors \(\overrightarrow{PL}\) mit dem Vektor \(\vec{u}\) muss wegen des rechten Winkels bei L den Wert 0 haben. Mit diesem Ansatz erhalten Sie eine Gleichung, mit der Sie den Parameter in der Geradengleichung berechnen können.
  Weitere Hinweise erhalten Sie mit Hinweis 2.
- Die Länge des Vektors \(\vec{d} = \overrightarrow{PL}\) wird für den gesuchten Punkt L minimal.
  Berechnen Sie \(\vert \vec{d}\vert^2 = \vec{d} \cdot \vec{d} \) und bestimmen Sie die Stelle für das Minimum.
  Weitere Hinweise erhalten Sie mit Hinweis 3.

Welche Aussagen sind mit d =\(\vert\vec{d}\vert\) richtig?