Arbeitsblatt 14

Thema: Abstand Punkt - Gerade

Zur Berechnung des Abstandes, den ein Punkt im Raum von einer Geraden im Raum hat, gibt es zwar eine Formel – diese ist in den meisten Formelsammlungen jedoch nicht vorhanden.
Ein geometrisch recht einfach nachzuvollziehender Ansatz setzt die Kenntnis von Ebenengleichungen in Normalenform voraus und ist dann rechnerisch auch noch mit einigem Aufwand verbunden.

Ich las das vor einiger Zeit einen Artikel darüber in einem Fachblatt. Dabei fiel mir wieder ein, dass auch ich mir mal einen Ansatz dazu überlegt habe, der nur das Skalarprodukt und grundlegende Kenntnisse über Punkte und Vektoren voraussetzt und bei dem nicht der Fußpunkt L des Lotes vom Punkt auf die Gerade berechnet zu werden braucht.

Aufgabe 14
Gegeben ist eine Gerade durch die Punkte A = ( 2 | −4 | 3 ) und B = ( 0 | −5 | 4 ).
Ein Punkt P hat die Koordinaten P = ( 5 | 1 | 2 ).
Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden durch A und B.

Tipp: Mit Hilfe des Skalarproduktes können Sie zunächst den Winkel bei A im Dreieck APL berechnen.
Dazu müssen Sie nicht einmal die Länge des Vektors \( \vec{v} \) von A nach L kennen. Berechnen Sie einfach erst einmal den Winkel zwischen dem Richtungsvektor \( \vec{u} \) der Geraden und dem Vektor \( \vec{w} \) von A nach P. Überlegen Sie sich dann, wie groß der Winkel im Dreieck bei A sein muss.
Wenn Sie möchten, erhalten Sie hier einen Hinweis 1.

Falls Sie an der Formel für den Abstand Punkt-Gerade interessiert sind, lesen Sie den Hinweis 2.

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