Bestimmung des Parameters a für ein Winterbild

Gesucht ist eine Lösung für die Gleichung \[ 2 \cdot a_W \cdot \sinh \left(\frac{110}{a_W} \right) = 220,31 \] und wir wissen schon, dass \(a\) größer als 980 sein muss.

• Gezieltes Probieren:
  \(a_W=1100\):
  \( 2\cdot 1100 \cdot \sinh \left(\frac{110}{1100} \right) \approx 220,367 \)
  Der gesuchte Wert muss also noch größer als 1200 sein.
  \(a_W=1200\):
  \( 2\cdot 1200 \cdot \sinh \left(\frac{110}{1200} \right) \approx 220,308 \)
  Der gesuchte Wert muss also weing kleiner als 1200 sein.
  \(a_W=1195\):
  \( 2\cdot 1195 \cdot \sinh \left(\frac{110}{1195} \right) \approx 220,311 \)
  Der gesuchte Wert muss also ungefähr 1195 sein.
  
  
• Lösung mit dem CAS-Modul von GeoGebra:
  
  Geben Sie in die erste Zeile die zu lösende Gleichung ein.
  Klicken Sie auf das Symbol x ≈
  GeoGebra löst die Gleichung.
  Falls nichts geschieht, tippen Sie vorher noch einmal auf die Gleichung, damit GeoGebra erkennt, welche Gleichung gelöst werden soll.
  Falls GeoGebra einen negativen Wert für \(a_W\) berechnent, geben Sie den Suchauftrag mit einem Startwert ein:
  NLöse(#1, a=1000)
  
  
• Lösung mit dem Taschenrechner:
  Geben Sie in den Taschenrechner die Gleichung \[ 2 \cdot x \cdot \sinh \left(\frac{110}{x} \right) = 220,31 \] ein. Achten Sie beim Casio fx-991DE X darauf, das Gleichheitszeichen nicht über die  = -Taste, sondern über den ALPHA-Knopf und die  CALC -Taste einzugeben.
  Starten Sie dann die Lösungssuche mit dem Shift-Knopf und der Solve/ CALC -Taste.
  Geben Sie als Startwert für \(x\) z.B. 1000 ein:
  
  \(\; 2 \times x \times \sinh \left(\frac{110}{x} \right) = 220,31 \;\)
  
  \(\definecolor{mycolor}{rgb}{0.94,0.94,0.69} {\color{mycolor}\colorbox{black} {\( \; x= 1,11357117 \; \)}} \)
  
  In der unteren Zeile wird zunächst der Wert angezeigt, der zuletzt in den Speicher \(x\) geschrieben wurde – Sie sollten ihn durch einen guten Näherungswert, z.B. 10000 ersetzen!
  Wenn Sie SOLVE mit einem Startwert von ca. 1,11 aufrufen, wird die Lösung nicht gefunden. Der Vorgang wird (wahrscheinlich wegen Zeitüberschreitung) abgebrochen, und es wird eine Lösung angezeigt, die keine ist: Das Intervall L-R ist noch riesengroß! Mit dem Startwert 1000 erhalten Sie aber nach kurzer Zeit
  \(\; 2 \times x \times \sinh \left(\frac{110}{x} \right) = 220,31 \;\)
  
  \(\; x = 1196,5733\)
  \(\; L-R= \quad\quad\quad 0 \)
  

Für einen kalten Wintertag (-10°) könnte der Verlauf der Stromleitung also mit einem Parameterwert von a‍ ‍≈‍ ‍1095 in der Ketten­linien­funktion beschrieben werden.

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