Arbeitsblatt 29

Thema: Das unmögliche Dreieck, oder: Es ist nicht das, wonach es aussieht …

Können Sie das abgebildete Dreieck aus Leisten mit quadratischem Querschnitt bauen?
Versuchen Sie, die Figur zu drehen, um hinter ihr Geheimnis zu kommen.
Um die Figur wieder in die Ausgangsstellung zurückzusetzen, können Sie auf das Home-Symbol in der Symbolleiste klicken bzw. tippen.
 

Wie leicht man sich bei Ansichten vom oder im dreidimensionalen Raum täuschen (lassen) kann, zeigen das Bild oben und auch die folgende Aufgabe.

Aufgabe 29

Sie sehen 4 Punkte, die eine Ebene aufspannen.

  1. Bestimmen Sie eine Ebenengleichung für die dargestellte Ebene.
     
  2. Haben Sie es bemerkt? Die Koordinaten der Eckpunkte des Vierecks können Sie in der dargestellten Standardansicht nicht wirklich ablesen.
    Zwar scheinen A und B in der xy−Ebene zu liegen und C und D auf der Höhe z=1, so dass man annehmen könnte
    A=(3|-4|0), B=(3|2|0) und C=(0|2|1), D=(0|-4|1). Dieser Eindruck kann - wie gesagt - auch täuschen.
    Drehen Sie die Ansicht.
    Lassen Sie sich auch die Stützen zu den Punkten anzeigen.
    (Um die Zeichnung wieder zurückzusetzen tippen Sie unten rechts auf das Symbol mit den zwei Pfeilen)
     
  3. Es sind also in Wirklichkeit zwei Vierecke dargestellt. Das erste hat die oben angegebenen Koordinaten, das zweite hat die vier Eckpunkte mit folgenden Koordinaten:
    A'=A=(3|-4|0), B'=(5|-1,45|1,45), C'=(3|-3,2|3,2), D'=(1|-5,75|1,75).
    Stellen Sie für beide Ebenen eine Parameterform, eine Normalenform und eine Koordinatenform auf.
    Denken Sie dabei daran, den Ebenen verschiedene Namen zu geben.
     
  4. Berechnen Sie die Gleichung der Schnittgeraden für die beiden Ebenen.
    Hinweis 1
    Hinweis 2
    Hinweis 3

     
  5. Wenn Sie für beide Ebenen die Normalenvektoren berechnet haben, sollte es Ihnen nicht schwer fallen, den Winkel zu berechnen, in dem die beiden Ebenen zueinander stehen.

Mögliche Lösungen sind:

A: E1: x + 3z = 3 B: α  ≈ 67,2°
C: E2: 7x - 6,4y + 1,6z = 46,6 D: \(\small{g: \vec{x}=\left(\matrix{3 \\ -4 \\ 0}\right) + t \cdot \left(\matrix{96\\97\\-32}\right)}\)

Beachten Sie, dass der Richtungsvektor bei der Geraden nur bis auf Vielfache bestimmt ist. Überprüfen Sie also, ob der von Ihnen berechnete Richtungsvektor ein Vielfaches des hier angegebenen ist.

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