Arbeitsblatt 28

Thema: Ebenen etc.

Ein Pirat hatte sein gesamtes Gold zu einem Quader zusammenschmelzen lassen, weil er befürchtete, dass ihm einzelne Kleinteile (z.B. feiner Goldschmuck) leichter gestohlen werden könnten als ein ganzer Block.
Grundsätzlich keine schlechte Idee, denn der Block wurde ein Quader mit 28cm Länge, 21cm Breite und 16cm Höhe und damit auch ziemlich schwer.

Der Block wurde gut gesichert in einer Zimmer­ecke aufbewahrt, und auf Wände und Fußboden wurde ein Muster aufgemalt. So könnte man leicht bemerken, wenn jemand versuchen würde, etwas davon wegzunehmen – dachte der Pirat.

Doch als er nach dem nächsten Raubzug auf See wieder zu seinem Inselversteck zurück nach Hause kam, hatte er ein ungutes Gefühl, als er seinen Goldschatz betrachtete (erste Abbildung).

Zwar sah der Block noch genauso aus, aber es lag etwas Goldstaub daneben.
Sollte es irgendwie gelungen sein, doch etwas vom Gold zu stehlen?
 

Der Pirat ließ seinen Goldblock umdrehen - und da sah er die Bescherung:
Eine veritable Ecke war entfernt worden. Es konnten nur seine eigenen Leute gewesen sein, und die hatten sich sogar noch die Mühe gemacht, die Schnittfläche blank zu polieren (zweite Abbildung).

Dem alten Piraten blieb die bittere Erfahrung, dass Seeräuber auch selbst beraubt werden können.


  Aufgabe 28

Nach dem Umdrehen des Goldblocks haben die Punkte A bis H die folgenden Koordinaten:
A = ( 0| 0| 0), B = ( 28| 0| 0), C = ( 28| 21| 0), D = ( 0| 21| 0),
E = ( 0| 0| 16), F = ( 28| 0| 16), G = ( 28| 21| 16) und H = (0| 21| 16).

  1. Berechnen Sie das Volumen des ursprünglichen Goldblocks. Gold hat die Dichte \(\rho = 19,3 \frac{\text{g}}{\text{cm}^{3}}\), d.h. 1cm³ Gold hat eine Masse von 19,3g.
    Rechnen Sie einmal aus, welche Masse in kg der Goldblock hat.
     
  2. Stellen Sie zwei Seiten des Dreiecks ΔCHF durch Vektoren \(\vec{u} \) und \(\vec{v} \) dar.
     
  3. Berechnen Sie mit Hilfe des Vektorprodukts aus \(\vec{u} \) und \(\vec{v} \) die Größe der polierten Dreiecksfläche CHF.
     
  4. Stellen Sie für die Ebene ECHF durch die Punkte C, H und F eine Ebenengleichung in Normalenform auf.
     
  5. Berechnen Sie den Abstand des Punktes G von der Ebene ECHF.
     
  6. Der vom Quader abgetrennte abgetrennte Teil hat die Form einer Pyramide.
    Die Formel für das Volumen einer Pyramide lautet \( V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \).
    Dabei ist \(G\) die Grundfläche und \(h\) die Höhe der Pyramide.
    Berechnen Sie, wie viel cm³ vom Quader abgetrennt wurden.
     
  7. Wahrscheinlich haben Sie im Teil f das Volumen mit Hilfe der im Teil c berechneten polierten Dreiecksfläche CHF und dem in Teil e berechneten Abstand als Höhe berechnet.
    Sie können aber auch eine andere Dreiecksfäche als Grundfläche ansetzen. Nehmen Sie z.B. das Dreieck CHG als Grundfläche (Hälfte der Seitenfläche CDHG des Quaders), dann ist die Kante GF die Höhe.
    Damit können Sie zur Kontrolle das Volumen der Pyramide noch einmal berechnen, ohne Kenntnisse aus der Vektorrechnung anwenden zu müssen.
     
  8. Welcher Bruchteil des Quaders wurde entfernt?
     
  9. In Teil d haben Sie eine Gleichung für die Ebene ECHF durch C, H und F aufgestellt. Stellen Sie nun auch die Gleichung für die Ebene EBDE durch B, D und E auf.
    Zeigen oder begründen Sie, dass diese Ebene parallel zur anderen ist.
    Berechnen Sie den Abstand, den die beiden Ebenen voneinander haben.
     
  10. Die Vektoren \(\vec{u} \) und \(\vec{v} \) aus Teil b gehen von einem gemeinsamen Eckpunkt des Dreiecks ΔCHF aus. In diesem Punkt beginnt auch ein dritter Vektor \(\vec{w}\), der als Pyramidenkante zum Punkt G führt.
    Nehmen Sie das Ergebnis vom Vektorprodukt \(\vec{u} \times \vec{v} \) aus Teil c, multiplizieren Sie diesen Vektor skalar mit \(\vec{w}\).
    Berechnen Sie also \( \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} \). Teilen Sie das Ergebnis durch 6. Fällt Ihnen etwas auf?

Die Maße sind so gewählt, dass viele Ergebnisse ganze Zahlen sind. Unter anderem sollten folgende Zahlen auftreten:

A: 406 B: 9.408
C: 1.568 D: 336⁄29

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