Sie können die Terme aus der Parameterform der einen Ebenengleichung in die Koordinatenform der anderen Ebenengleichung einsetzen.
Aus \[ E_1: \quad \vec{x} = \small{ \left( \matrix{ 3 \\ -4 \\ 0} \right) } + r \cdot \small{ \left( \matrix{ 0 \\ 6 \\ 0} \right) } + s \cdot \small{ \left( \matrix{ -3 \\ 0 \\ 1} \right) } \] folgt: \[ \matrix{ x_1 & = &3 &+ &\quad & (-3) \cdot s \\ x_2 & = &-4 &+ &6 \cdot r & \\ x_3 & = &\quad & & & 1\cdot s } \] Diese drei Terme werden in \[ E_2: \quad 7 x_1 - 6,4 x_2 + 1,6 x_3 = 46,6 \] eingesetzt:
\( \begin{align} 7 \cdot(3 - 3s) -6,4 \cdot(-4 + 6r) + 1,6 \cdot s = 46,6 \\ \Leftrightarrow 21 - 21 s + 25,6 - 38,4 r +1,6 s = 46,6 \\ \Leftrightarrow -38,4 r -19,4 s = 25,6 \\ \Leftrightarrow s = -\frac{38,4}{19,4} \cdot r \end{align} \)
Der Parameter \(s\) ist also ungefähr das −2-fache des Parameters \(r\).
Der genaue Wert, also der o.a. Bruch wird in die Parameterform
der Ebenengleichung von E1 eingesetzt:
\(
\vec{x} =
\small{
\left(
\matrix{ 3 \\ -4 \\ 0}
\right)
}
+ r \cdot
\small{
\left(
\matrix{ 0 \\ 6 \\ 0}
\right)
}
-
\frac{38,4}{19,4}
\cdot
r
\cdot
\small{
\pmatrix{ -3 \\ 0 \\ 1}
}
\)
\( \quad \Leftrightarrow \quad
\vec{x} =
\small{
\pmatrix{ 3 \\ -4 \\ 0}
}
+ r \cdot
\pmatrix{ \frac{115,2}{19,4} \\ 6 \\ \frac{-38,4}{19,4}}
\)
Weil die Länge des Richtungsvektors beliebig vergrößert werden kann,
ist es jetzt sinnvoll, den Richtungsvektor um den Faktor 19,4 zu
strecken.
Dann erhält man für die Schnittgerade eine Darstellung ohne Brüche:
\(
g: \quad
\vec{x} =
\pmatrix{ 3 \\ -4 \\ 0}
+ r \cdot
\pmatrix{ 115,2 \\ 116,4 \\ -38,4}
\)
Ästheten, die den Richtungsvektor so immer noch nicht schön finden, multiplizeren mit 10, um das Dezimalkomma verschwinden zu lassen und teilen dann den Vektor durch 4:
\( g: \quad \vec{x} = \pmatrix{ 3 \\ -4 \\ 0} + r \cdot \pmatrix{ 288 \\ 291 \\ -96} \)Jetzt könnte man den Richtungsvektor noch durch den kleinsten gemeinsamen Teiler 3 dividieren und erhält
\( g: \quad \vec{x} = \pmatrix{ 3 \\ -4 \\ 0} + r \cdot \pmatrix{ 96 \\ 97 \\ -32} \)