Arbeitsblatt 22

Thema: Vektorprodukt, Übungen

Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt Abbildung: Vektorprodukt

Gegeben sind die Punkte A=( 0,4|−0,8| 0,6), B=‍( 0,8| 0,4| 0,3) und C=(−0,8|−0,5| 0,2).

Außerdem werden weitere Punkte C0 bis C12 in der durch A, B und C definierten Ebene festgelegt.
In der folgenden Aufgabe soll damit untersucht werden, welchen Einfluss der Winkel zwischen zwei Vektoren auf das Vektorprodukt hat.

Aufgabe 22

  1. Der Vektor \(\vec{u}\) sei der Vektor von A nach B und \(\vec{v}\) der Vektor von A nach C. Diese Vektoren sind die Spannvektoren der dargestellten Ebene.
    Berechnen Sie diese Vektoren aus den gegebenen Punkten und weisen Sie nach, dass beide gleich lang sind.
     
  2. Der Ortsvektor von C4 lässt sich durch \(\;\vec{c}_4 = \vec{a} \small{ \; + \; (-0,6) \cdot} \normalsize{ \vec{u}} \small{ \; + \; 0,8 \cdot}\normalsize{ \vec{v}} \; \) berechnen, wobei \(\vec{a}\) für den Ortsvektor von Punkt A steht.
    Weisen Sie nach, dass C4 = (−0,8|−1,28| 0,46) ist und berechnen Sie den Vektor \(\vec{v}_4\), der von A nach C4 verläuft.
     
  3. Der Punkt C0 ist identisch mit Punkt B, und der Punkt C3 ist identisch mit Punkt C.
    Dazwischen liegen die Punkte C1 und C2. Überlegen Sie sich, wie Sie die Koordinaten von diesen Punkten berechnen können.
    Wenn Sie keinen Ansatz dazu finden, lesen Sie Tipp 1.
     

Ähnlich wie C1 und C2 können Sie alle Punkte von C0 bis C11 bestimmen.
(Sie müssen nicht alle diese Punkte berechnen)
Mit den Punkten C0 bis C11 erhalten Sie auch sehr einfach die Vektoren, die von A aus zu diesen Punkten führen.
Diese Vektoren werden mit \(\vec{v}_0\) bis \(\vec{v}_{11}\) bezeichnet.
Im nächsten Aufgabenteil sind einige Vektorprodukte zu berechnen. Sie können dafür das Schema verwenden, das in der Hilfe zur vorigen Aufgabe beschrieben wurde, oder Sie verwenden (gleichwertig) die folgende Formel:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \small{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \left( \begin{array}{rcr} a_2 b_3 & - & a_3 b_2 \\ -a_1 b_3 & + & a_3 b_1 \\ a_1 b_2 & - & a_2 b_1 \end{array} \right) } \]
  1. Berechnen Sie drei oder 4 der Vektorprodukte \(\vec{u}\times\vec{v}_0\), \(\vec{u}\times\vec{v}_1\), \(\vec{u}\times\vec{v}_2\), \(\vec{u}\times\vec{v}_3\), … \(\vec{u}\times\vec{v}_{11}\) und vergleichen Sie die Ergebnisvektoren hinsichtlich Länge und Richtung.
    (Falls Sie Hilfe brauchen, lesen Sie Tipp 2)
    Sprechen Sie sich eventuell mit Ihren Mitschülerinnen und Mitschülern ab, wer welche der 12 Punkte auf dem Kreis für diese Berechunungen verwendet. Wenn Sie alle Ergebnisse dann zusammmentragen, erhalten Sie eine ganz schön große Ergebnistabelle.
    Es lässt sich aus den Ergebnissen vielleicht schon eine Behauptung oder Vermutung aufstellen, die allgemein für das Vektorprodukt gilt (die durch diese 3 Beispiel­rechnungen natürlich noch nicht bewiesen ist).

    Formulieren Sie Ihre Vermutung, gern im Chat. Vielleicht ergänzen Sie dort bereits gepostete Vermutungen durch Ihre eigenen zusätzlichen Ideen.
     

Zwei der vier Aussagen sind falsch, zwei sind richtig:
Unter den vielen in dieser Aufgabe berechneten Vektorprodukten gibt es (mindestens) ein i, für das gilt

A: \(\vec{u}\times\vec{v}_i=0\) B: \(\vec{u}\times\vec{v}_i\) nicht def.*)
C: \(\vec{u}\times\vec{v}_i=\vec{0}\) D: \(|\vec{u}\times\vec{v}_i|=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}_i|\)

*) nicht definiert

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