Arbeitsblatt 21

Thema: Vektorprodukt, Einführung

 
Die Ebene, die durch die Punkte A=( 8| 9| 3), B=( 4| 8| 5) und D=(10|−2| 5) gegeben ist, wird durch die folgende Ebenengleichung in Parameterform beschrieben: \[E: \quad \vec{x} = \left(\begin{matrix}8\\9\\3\end{matrix} \right) + s \cdot \left(\begin{matrix}-4\\-1\\2\end{matrix} \right) + t \cdot \left(\begin{matrix}2\\-11\\2\end{matrix} \right), \; s, t \in \mathbb{R} \]

Statt die Lage der Ebene im Raum durch die zwei Spann- oder Richtungs­vektoren zu bestimmen, kann sie auch durch einen Vektor, der senktrecht zu beiden Spannvektoren steht, festgelegt werden.
Deshalb geht es hier noch einmal darum, einen solchen Vektor zu bestimmen, der senkrecht zu zwei anderen gegebenen Vektoren steht.

Aufgabe 21
Berechnen Sie einen Vektor \(\vec{n}\), der senkrecht zu den beiden Spann­vektoren \(\;\vec{u} = \left(\begin{matrix}-4\\-1\\2\end{matrix} \right)\) und \(\;\vec{v} = \left(\begin{matrix}2\\-11\\2\end{matrix} \right)\) steht.
Dieser gesuchte Vektor \(\vec{n}\) heißt Normalenvektor.

Berechnen Sie diesen Normalenvektor mit dem so genannten Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt): \[\vec{n}=\vec{u} \times \vec{v}\]

Falls Sie noch nicht oder nicht mehr wissen, wie diese Berechung erfolgen kann, gibt es hier einen Hinweis.

Nur eine der vier folgenden Aussagen ist falsch. (Bedenken Sie, dass Vektorprodukt ein eindeutiges Ergebnis hat. Die Länge des Normalenvektors einer Ebene ist dagegen nicht festgelegt.)

A: \(\vec{n}=\scriptsize{\begin{pmatrix}4\\2,4\\9,2\end{pmatrix}}\) B: \(\vec{u}\times\vec{v}=\scriptsize{\begin{pmatrix}20\\12\\46\end{pmatrix}}\)
C: \(\vec{u}\times\vec{v}=\scriptsize{\begin{pmatrix}-8\\11\\4\end{pmatrix}}\) D: \(\vec{n}=\scriptsize{\begin{pmatrix}1\\0,6\\2,3\end{pmatrix}}\)

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