Arbeitsblatt 23

Thema: Vektorprodukt und Skalarprodukt im Vergleich

Skalarprodukt

Für das Skalarprodukt aus zwei Vektoren \(\vec{a} = \small{\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}}\) und \(\vec{b} = \small{\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}}\) gilt: \[ \begin{align} \vec{a}\cdot\vec{b} = \small{ \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix} } \normalsize{ = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \qquad \text{ (I)} } \\ \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \qquad \text{(II)} \end{align} \]

In (II) ist α der Winkel, den die beiden Vektoren einschließen.
Setzt man die beiden rechten Seiten von (I) und (II) gleich, so erhält man eine Gleichung zur Berechnung des Winkels α.
Ist dieser Winkel kleiner als 90°, so ist das Skalarprodukt positiv.
Ist er größer als 90°, so ist das Skalarprodukt negativ, weil cos(α) dann negativ ist.

Das Skalarprodukt ist immer eine Zahl (und nicht ein Vektor).

    Sonderfälle
  1. \(\vec{a} \perp \vec{b}\).
    In diesem Fall ist α = 90°, somit cos(α) = 0, daher \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) und deshalb auch \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0\).
     
  2. \(\vec{a} = \vec{b}\).
    In diesem Fall ist α = 0° und daher cos(α) = 1, also
    \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot 1 = |\vec{a}|^2 \)

Vektorprodukt

Für das Vektorprodukt aus zwei Vektoren \(\vec{a} = \small{\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}}\) und \(\vec{b} = \small{\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}}\) gilt: \[ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} = \small{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \left( \begin{array}{rcr} a_2 b_3 & - & a_3 b_2 \\ -a_1 b_3 & + & a_3 b_1 \\ a_1 b_2 & - & a_2 b_1 \end{array} \right) } \normalsize{ \qquad \text{(III)} } \\ |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \sin(\alpha) \qquad \text{(IV)} \end{align} \]

Das Vektorprodukt ist immer ein Vektor (und nie eine Zahl).
Die Länge des Ergebnisvektors (also sein Betrag) hängt von der Länge der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ab und von dem Winkel α, den sie einschließen.
Wenn der Ergebnisvektor nicht der Nullvektor ist, steht er senkrecht zu den beiden anderen Vektoren.
Der Betrag des Vektorprodukts entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannt wird.

    Sonderfälle
  1. \(\vec{a}\perp\vec{b}\)
    \(|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\), weil sin(α) = 1.
     
  2. \(\vec{a}\|\vec{b}\)
    \(\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}\), denn hier ist der Winkel 0° oder 180°, also sin(α) = 0.
    Wichtig: auch in diesem Fall ist das Ergebnis des Vektorprodukts ein Vektor, \(\vec{0} = \small{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\)

Aufgabe 23
Gegeben sind die drei Punkte A=(−4|−2| 1), B=( 2|−3| 0) und C=( 0| 0| 2).

Abbildung: Dreieck
  1. Berechnen Sie die Größen der drei Winkel des Dreiecks.
  2. Berechnen Sie aus zwei verschiedenen Paaren von Seitenvektoren das Vektorprodukt.
    Da beide Ergebnisse Normalenvektoren zur Dreiecks­ebene sind, sollte ein Ergebnis ein Vielfaches des anderen sein. Überprüfen Sie, ob das bei Ihrer Berechnung der Fall ist.

Einer der Winkel ist …

A: 90° B: ≈42°
C: ≈142° D: α+β+γ >180°

Wieder einmal sind zwei der angegebenen Lösungen richtig und zwei sind falsch.

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