Arbeitsblatt 13

Thema: Geraden; Vektoren, Winkel

Aufgabe 13

Warszawa Ochota

Der Bahnhof im Stadteil Ochota von Warschau (Polen) hat eine interessante Dachform.
Leicht vereinfacht lässt sie sich mit GeoGebra modellieren.

Dachkonstruktion GeoGebra

Die vier Eckpunkte des Daches sind hier durch A = ( 15 | 0 | 1 ), B = ( 0 | 15 | 13 ), C = (−15 | 0 | 1 ), D = ( 0 |−15 | 13 ) festgelegt.

Dachkonstruktion GeoGebra

Das besondere an dieser Dachform ist, dass die Fläche – obwohl sie nicht eben ist – unendlich viele Geraden enthält.
Auf die etwas komplizierte Gleichung der Dachfläche wird an dieser Stelle nicht eingegangen, dennoch lassen sich aber mit den Mitteln der Schulmathematik viele Berechnungen anstellen:

  1. Geben Sie die Vektoren \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\), \(\vec{v}=\overrightarrow{AD}\), \(\vec{e}=\overrightarrow{CB}\), \(\vec{f}=\overrightarrow{CD}\) an.
    Berechnen Sie die Größen der vier Winkel bei A, B, C und D, wobei Sie Symmetrieeigenschaften ausnutzen können.
    Ergibt die Winkelsumme 360° wie bei einem ebenen Viereck?
  2. Geben Sie die Gleichung der Geraden durch A und B an.
  3. Zeigen Sie exemplarisch, dass zwei der Geraden aus dem Netz der Dachebene sich wirklich schneiden (und nicht nur ganz dicht aneinander vorbei laufen).
    Wählen Sie dazu z.B. die Punkte E, F, G und H folgendermaßen:
    Punktes E liegt auf einem Drittel des Weges von A nach D, geben Sie seine Koordinaten an. (zur Kontrolle: E=(10|−5|5)
    Geben Sie ebenso die Koordinaten der Punkte F (auf zwei Dritteln des Weges von C nach B), G und H an.
    Stellen Sie dann die Gleichungen für die beiden abgebildeten Geraden auf und berechnen Sie den Schnittpunkt S.
  4. Die Dachkanten sind jeweils recht stark geneigt. Berechnen Sie, wie viel Grad diese Neigungen gegenüber der z-Achse betragen.

Mehr Informationen zu nicht-ebenen Vierecken finden Sie unter folgendem Link:
GeoGebra: Bahnhofsdach Ochota

Einer der vier Lösungsvorschläge ist falsch.

A: Länge AB ≈ 24,7 B: α ≈ 76°
C: φ ≈ 60,5° D: α+β+γ+δ>360°

Für das GeoGebra-Applet ist ein Desktop-PC, Notebook oder Tablet besser geeignet als ein Smartphone. Die 3D-Zeichnung lässt sich mit einer Maus (oder Touchpad) besser drehen als mit dem Finger auf dem Smartphone.

Bildquelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/W-wa_Ochota_PKP-WKD.jpg

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