Arbeitsblatt 29

Thema: Binomial- und Normalverteilung

Aufgabe 29

In der vorigen Aufgabe haben Sie gesehen, dass Histogramme (fast) aller Binomialverteilungen durch Verschieben um μ nach links, vertikales Stauchen um σ und horizontales Strecken um σ auf nahezu ähnliche Form gebracht werden können, die näherungsweise durch eine Funktion in der Form einer Glockenkurve beschrieben werden kann.

Nun geht es darum, einen Funktionsterm für diese Funktion zu finden. Dazu greifen wir noch einmal das letzte Bild aus der vorigen Aufgabe auf.

Eine Funktion, die die ersten beiden Eigenschaften besitzt, ist \(f(x)=e^{-x^2}\).
Wenn diese Funktion um den Faktor v parallel zur y‑Achse gestaucht und parallel zur x‑Achse um den Faktor h gestreckt wird, können wir ungefähr die gesuchte Funktion finden.

  1. Versuchen Sie, die Schieberegler so einzustellen, dass der Graph von f möglichst gut mit dem vorgegebenen Graphen übereinstimmt.
    Am besten geht das am PC mit Maus und Tastatur: Mit der Maus den jeweiligen Schieberegler grob einstellen, dann mit den Cursortasten fein justieren.
    Ein rechter Mausklick oben links in einen freien Bereich eröffnet die Möglichkeit, das Diagramm zu zoomen und dann im vergrößerten Bild die Übereinstimmung vielleicht noch genauer zu erreichen.

Wenn Sie beide Schieberegler gut eingestellt haben, können Sie erkennen, dass das Quadrat von h in der Nähe von 2 liegt.
Das Quadrat von v liegt (weniger offensichtlich) in der Nähe von 2π≈6,28.
Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß hat diese Funktion mathematisch (und nicht durch Probieren mit GeoGebra) gefunden, die deshalb auch Gauß-Funktion heißt: \[ \varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \large{e^{\Large{-\frac{x^2}{2}}}} \]

  1. Berechnen Sie φ(0), φ(1) und φ(2) und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Graphen im GeoGebra Applet.
  2. Berechnen Sie der erste Ableitung der Funktion φ(x) und bestätigen Sie, dass diese nur ein Extremum (den Hochpunkt) zulässt.
    Lösung
  3. Berechnen Sie die zweite Ableitung der Funktion φ(x) und bestimmem Sie die Stellen der Wendepunkte.
    Lösung
A: HP=(0;1/√2 π) B: WP1≈(1;0,242)
C: WP2 ≈ (-1;0,242) D: φ'(x) = −x·φ(x)

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