Arbeitsblatt 10

Integrale

World Dream

Auf einem großen Kreuzfahrschiff mit ca. 3000 Passagieren an Bord ist eine nur kurz andauernde, aber unangenehme Magen-Darm-Infektion aufgetreten. Nach der Genesung sind die Patienten immerhin für eine gutes Vierteljahr vor einer Neuinfektion geschützt.
Am Tag 0 wird die Infektion erstmals bemerkt, es sind an diesem Tag 10 Passagiere, die sich mit den gleichen Beschwerden krank melden.
Der Schiffsarzt stellt fest, dass die Anzahl der täglich neu erkrankten Personen durch die Funktion \[ f(x)=\left( 10 x + 10 \right)\cdot e^{-0,125 x} \] beschrieben werden kann.

Aufgabe 10

Untersuchen Sie den Verlauf der Infektion anhand der folgenden Arbeitsaufträge:

  1. Bestätigen Sie, dass die angegebene Funktion den richtigen Wert für den Tag 0 liefert, und dass es am Tag 3 schon ungefähr 27 neu infizierte Passagiere gibt.
     
  2. Berechnen Sie für die Funktion f (x) die erste Ableitung.
    Berechnen Sie dann mit Hilfe dieser Ableitung, an welchem Tag es (nach diesem mathematischen Modell) die meisten neu erkrankten Personen an Bord gibt, und wie groß diese Zahl ungefähr ist.
     
  3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion für 0 ≤ x ≤ 20.

     
  4. Am Tag 20 gibt es leider immer noch etliche Neuerkrankte. An welchem Tag ist die Zahl der Neuerkrankten auf ungefähr 1 gesunken?
    Zur Beantwortung dieser Frage müssen Sie eine Lösung der Gleichung \[ \left( 10 x + 10 \right)\cdot e^{-0,125 x} = 1 \] suchen.
    Diese Gleichung können Sie jedoch nicht nach x auflösen, da x sowohl im Faktor vor der Potenz als auch im Exponenten auftritt.
    Sie können aber durch Probieren bzw. mit Hilfe einer Wertetabelle herausfinden, an welchem Tag die Anzahl der Neuinfektionen ungefähr 1 beträgt.
    Sie können auch das CAS-Modul von GeoGebra verwenden, um eine mathematisch sehr exakte Lösung der Gleichung zu finden.
    Hinweis 4
    Einige Tage später kann die Infektionswelle als überwunden angesehen werden.
     
  5. Wie viele Passagiere sind eigentlich insgesamt von dieser Infektion betroffen worden?
    Sie können diese Anzahl statt durch Aufsummieren von rund 50 Einzelwerten für rund 50 Tage näherungsweise einfacher durch ein Integral berechnen.
    Zeigen Sie zunächst, dass \( F(x)=\left( -80 x - 720 \right)\cdot e^{-0,125 x} \) eine Stammfunktion zu f (x) ist, indem Sie F (x) ableiten.
     
  6. Berechnen Sie nun mit Hilfe der Stammfunktion aus Teil e) das Integral \( \int \limits_{0}^{b}{f(x) \ \mathrm{d}x} \), wobei Sie für b den Wert 50 einsetzen.
     
  7. Um die Anzahl der insgesamt von der Infektion betroffenen Passagiere zu ermitteln, können Sie auch das uneigentliche Integral \( \int \limits_{0}^{\infty}{f(x) \ \mathrm{d}x} \) berechnen.
  8. Die Integralfunktion (vgl. vorige Aufg. Teil g) gibt die Anzahl der bis zum Zeitpunkt x insgesamt erkrankten Personen an.
    \[ G(x) = \int \limits_0^x {\left(10 t + 10\right)\cdot e^{-0,125\cdot t}} \mathrm{d}t \] Geben Sie diese Funktion an.
    Damit Sie den Verlauf dieser Funktion grafisch im selben Koordinatensystem wie die Funktion f darstellen können, stauchen Sie die Funktion mit dem Faktor 0,1. Zeichnen Sie also den Graphen von 0,1·G(x) in das Koordinatensystem von Aufgabenteil c) ein.

Der prozentuale Anteil der Passagiere, die von der Infektion betroffen wurden, beträgt ungefähr …

A: 48% B: 24%
C: 12% D: 6%

Chat-Forum