Lösungshinweise Aufgabe 11 a
Das Volumen wird mit der Formel
\(
V = \pi \int \limits_a^b \left( f(x) \right)^2 dx
\)
berechnet, hier also
\(
V = \pi \int \limits_0^8 \left( \sqrt{2 \sin(x-1) + 4} \right)^2 dx
= \pi \int \limits_0^8 \left(2 \sin(x-1) + 4 \right) dx
\)
Die Wurzel fällt durch das Quadrieren weg, und da die Stammfunktion
zur Sinusfunktion die Minus-Kosinusfunktion ist, können wir das Integral
mit Hilfe der Stammfunktion berechnen:
\(
\begin {align}
\frac{V}{\pi} &= \left[ -2\cos(x-1) + 4 \, x \, \right]_0^8 \\ % Backslash Komma gibt kleinen Abstand.
&= (-2\cos(8-1) + 4 \cdot 8) - (-2\cos(0-1) + 4 \cdot 0) \\
&= (-2\cos(7) + 32) - (-2\cos(-1) + 0)\\
&= -2\cos(-7) +32 + 2\cos(-1)
\end {align}
\)
Jetzt muss man für die Berechnung mit dem Taschenrechner noch darauf
achten, dass der Winkelmodus auf Bogenmaß (rad) eingestellt ist.
Zum Schluss muss der berechnete Wert noch mit π multipliziert werden,
um das gesuchte Volumen zu erhalten. Dieses sollte mit einem der vier
Lösungsvorschläge übereinstimmen.
Bei längeren Berechnungen dieser Art halte ich es für vorteilhaft,
zunächst den Faktor π auf die linke Seite zu bringen −
ich würde ihn jedenfalls auf der rechten Seite irgendwann doch einmal
vergessen.
Am Schluss muss ich dann nur noch daran denken, dass ich mein Ergebnis
noch mit π multiplizieren muss, um das Volumen V zu erhalten.