Arbeitsblatt 20

Thema: Vektorprodukt, Einführung

Wir betrachten noch einmal die Ebene aus der vorigen Aufgabe. Sie hat die Gleichung \[E: \quad \vec{x} = \left(\begin{matrix}8\\9\\3\end{matrix} \right) + s \cdot \left(\begin{matrix}-4\\-1\\2\end{matrix} \right) + t \cdot \left(\begin{matrix}2\\-5\\3\end{matrix} \right), \; s, t \in \mathbb{R} \]

Für viele weitere Fragestellungen, bei denen es um Ebenen im Raum geht, erweist sich eine andere Form der Ebenen­gleichung als vorteilhaft.
Denn der Nachteil bei der o.a. Gleichung sind die zwei Parameter, durch die viele Berechnungen umständlich werden können.

Statt die Lage der Ebene im Raum durch die zwei Richtungs­vektoren zu bestimmen, kann sie auch durch einen Vektor, der senktrecht zu den beiden steht, festgelegt werden.
Deshalb geht es im Folgenden zunächst einmal darum, einen solchen Vektor zu bestimmen, der senkrecht zu zwei anderen gegebenen Vektoren steht.

Aufgabe 20
Berechnen Sie einen Vektor \(\vec{n}\), der senkrecht zu den beiden Spann- oder Richtungs­vektoren \(\;\vec{u} = \left(\begin{matrix}-4\\-1\\2\end{matrix} \right)\) und \(\;\vec{v} = \left(\begin{matrix}2\\-5\\3\end{matrix} \right)\) steht.
Dieser gesuchte Vektor \(\vec{n}\) heißt Normalenvektor.

Falls Sie noch nicht oder nicht mehr wissen, wie diese Berechung erfolgen kann, gibt es hier einen Hinweis.

Nur eine der folgenden Aussagen ist richtig. Vielleicht können Sie auch begründen, warum die anderen Aussagen jeweils falsch sind?

A: \(\vec{n}\perp\vec{u}\), \(\vec{n}\perp\vec{v}\) B: \(\vec{u}\perp\vec{v}\)
C: \(\vec{n}\parallel\vec{u}, \vec{n}\parallel\vec{v}\) D: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)

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