Arbeitsblatt 13

Thema: Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Schraubenbild

Eine Firma aus der Metall­verarbeitungs­branche bezieht 5mm starke Schraubbolzen von zwei verschiedenen Herstellen.
Im firmeneigenen Testlabor wird unter­sucht, bei welcher Belastung die Schrauben reißen.

Beide Hersteller geben an, dass ihre Schrauben mindestens eine Belastung von 900N (N = Newton) aushalten. Das Testlabor prüft mit einer Schrittweite von 50N und stellt fest:

Reißfestig-
keit F in N 		Hersteller A:
(relative)
Häufigkeit		 Hersteller B:
(relative)
Häufigkeit
900N ≤ F <  950N 0% 0%
950N ≤ F < 1000N 0% 5%
1000N ≤ F < 1050N 0% 10%
1050N ≤ F < 1100N 15% 15%
1100N ≤ F < 1150N 40% 25%
1150N ≤ F < 1200N 35% 20%
1200N ≤ F < 1250N 10% 10%
1250N ≤ F < 1300N 0% 10%
1300N ≤ F < 1350N 0% 5%

Wählt man eine Schraube des Herstellers A zufällig aus und fragt, mit welcher Wahr­schein­lich­keit sie bei 1100N noch hält und bei 1150N reißt, so ist die Antwort 40%, denn die relativen Häufigkeiten können als Wahr­schein­lich­keiten angenommen werden.

Zur Vereinfachung kann man den genannten Bereichen den mittleren Wert als Reißfestigkeit zuordnen. Die Zufalls­größe X soll für diese Reißfestigkeit stehen.
Damit ergeben sich dann folgende Tabellen:

Hersteller A   Hersteller B
F P(X=F) F P(X=F)
925 N 0% 925 N 0%
975 N 0% 975 N 5%
1025 N 0% 1025 N 10%
1075 N 15% 1075 N 15%
1125 N 40% 1125 N 25%
1175 N 35% 1175 N 20%
1225 N 10% 1225 N 10%
1275 N 0% 1275 N 10%
1325 N 0% 1325 N 5%


Bestätigen Sie, dass bei beiden Herstellern der Erwar­tungs­wert für die Reiß­festig­keit den gleichen Wert hat, nämlich E(X) = 1145 N.


Noch deutlicher als die Tabellen zeigen die Histo­gramme die Gemeinsam­keit und den Unterschied in der Reiß­festig­keit der Schrauben bei den beiden Herstellern:

Histogramm für A Histogramm für B

Die Reißfestigkeit der Schrauben beträgt im Durchschnitt 1145 N.
Diese Aussage reicht als Qualitätsmerkmal noch nicht aus. Der Unterschied zwischen den Schrauben von Hersteller A und Hersteller B liegt darin, dass die Festigkeit der Schrauben bei B weiter um den Mittel- oder Erwartungswert streut, während sie bei A doch recht nah beim Erwartungswert liegt.

Einführung der Varianz

Bei einem mathematischen Maß dafür, wie weit oder dicht die Werte (hier: die Reiß­festig­keit) um den Mittelwert schwanken (variieren), wird auch die Wahr­schein­lich­keit berücksichtigt:

Zunächst werden die Abstände zum Mittel- bzw. Erwartungswert betrachtet. Diese Abstände werden quadriert und dann mit der zugehörigen Wahr­schein­lich­keit multipliziert.
Die Summe der so entstandenen Werte wird als Varianz bezeichnet. Dazu gibt's hier ein Beispiel.

Einführung der Streuung

Die Streuung soll so etwas angeben wie die mittlere Abweichung vom Erwartungswert.
Bei der Varianz hatte man ja die Quadrate der Abweichung gebildet, man spricht daher auch von der mittleren quadratischen Abweichung.
Die (Quadrat-)Wurzel aus der Varianz wird als Streuung bezeichnet.

Aufgabe 13

Berechnen Sie für beide Schrauben­hersteller die Varianz V(X) und die Standard­abweichung σ(X) für die Reiß­festig­keit X ihrer Schrauben.

Vergleichen Sie die Ergebnisse Ihrer eigenen Berechnungen mit den hier angegebenen vier Vorschlägen. Überprüfen Sie auch die Maßeinheiten.

A: VA(X) = 1850 N2 B: σA(X) ≈ 43,0 N
C: VB(X) = 7850 N D: σB(X) ≈ 89,6 N2

Als Lösungshilfe dient das bereits oben verlinkte Beispiel.

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