Arbeitsblatt 4

Thema: Lineare Algebra

Elefantenherde

Aufgabe 4
In einem Reservat haben Biologen die Entwicklung einer Elefantenpopulation intensiv untersucht. Sie unterschieden dabei verschiedene Entwicklungs­stadien. Elefantenbabies wuchsen zu Elefantenjungen heran, diese entwickelten sich zu Bullen oder Kühen und diese erwachsenen Elefanten bekamen wieder Nachwuchs. Von den alten Elefanten starben jedes Jahr mehrere aus unterschiedlichen Gründen.

Zur Vereinfachung werden nur drei Entwicklungsstadien betrachtet:
- junge Elefanten: Kälber (J)
- Erwachsene, männlich: Bullen (B)
- Erwachsene, weiblich: Kühe (K)

Von einem Jahr zum nächsten überlebten von den Elefantenbullen ebenso wie von den Elefantenkühen 87,5%. Im Mittel bekam jede Elefantenkuh 0,3 Elefantenkälber pro Jahr, die von Müttern und Tanten liebevoll aufgezogen wurden.
Von den Elefantenkälbern blieben die meisten (94%) im Folgejahr noch Kälber, aber 2,5% wurden zu erwachsenen Elefantenbullen und ebenso 2,5% zu erwachsenen Elefantenkühen.
Nachdem eine Infektionskrankheit vor allem bei vielen Jungtieren tödlich verlief, waren die Zahlen auf 100 Kälber, 220 Bullen und 300 Kühe geschrumpft. Doch jetzt geht man davon aus, dass der Bestand sich gemäß den vorherigen Beobachtungen wieder erholen sollte.

  1. Stellen Sie den Übergangsgraphen und die Übergangsmatrix A auf.
    Lösungshinweis a)
  2. Berechnen Sie den Bestand nach einem Jahr.
    Lösungshinweis b)
  3. Berechnen Sie den Bestand nach zwei und nach drei Jahren.
    Lösungshinweis c)
  4. Das Biologenteam möchte prüfen, ob das aufgestellte Modell die Entwicklung der Population einigermaßen richtig beschreibt.
    Dafür sind die Bestände nach 4, 8, 16, 32 und 64 Jahren zu berechnen.
    Verwenden Sie dazu ein geeignetes Hilfsmittel wie Taschenrechner, GeoGebra oder online-Matrizenrechner im Internet.
    Lösungshinweis d)
  5. Untersuchen Sie, ob es theoretisch möglich ist, dass bei einen anderen Anfangsbestand als dem oben angegeben die Population von Jahr zu Jahr gleich bleibt (bei gleicher Matrix).
    Lösungshinweis e)
  6. Wie schätzen Sie die langfristige Entwicklung dieser Elefantenpopulation bei dem oben genannten Anfangsbestand ein (nicht den von Teil e), wenn sie durch das Modell zutreffend beschrieben wird?
    Die Gesamtpopulation ...
      A: schrumpft langfristig und stirbt aus.
      B: wächst theoretisch unbegrenzt weiter.
      C: wird sich langfristig stabil einstellen.
      D: wird periodisch zu- und abnehmen.

A: schrumpft B: wächst
C: stabil D: schwankt

Bildquelle: https://www.nabu.de/news/2015/08/21103.html

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