Im Bestand sind zu Anfang 200 Jungtiere, 200 Elefantenbullen und 320 Elefantenkühe.
Mit diesen Zahlen wird der Bestandsvektor \(\vec{p}_0\) aufgestellt:
Hier ist zu beachten, dass im Vektor dieselbe Reihenfolge wie in der Matrix eingehalten wird (hier: J B K).
Der Vektor \(\vec{p}_1\) für den Bestand nach einem Jahr wird berechnet durch das Produkt
\[ \vec{p_{1}} ~=~ A \cdot \vec{p}_0 \] \[ \vec{p}_1 ~=~ \begin{pmatrix} 0,94 & 0 & 0,3 \\ 0,025 & 0,875 & 0 \\ 0,025 & 0 & 0,875 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 220 \\ 300 \end{pmatrix} \] \[ \vec{p}_1 ~=~ \begin{pmatrix} 184 \\ 195 \\ 265 \end{pmatrix} \quad \begin{matrix} \color{blue}J \\ \color{blue}B \\ \color{blue}K \end{matrix} \]Nach einem Jahr gibt es also wieder deutlich mehr junge Elefanten, aber weniger alte.
Die Anzahl der 184 Jungtiere entsteht durch die Summe von drei Produkten:
0,94·100 + 0·220 + 0,3·300
= 94 + 0 + 90
= 184
Es wurde das Skalarprodukt aus der ersten Zeile der Matrix mit dem Bestandsvektor \(\vec{p}_0\)
berechnet, indem die Zeilenelemente aus der Matrix paarweise mit den Spaltenelementen des Vektors
multipliziert wurden und diese drei Produkte addiert wurden.
Die Anzahl der 195 Elefantenbullen im Folgejahr wird entsprechend als Skalarprodukt
der zweiten Zeile mit dem Bestandsvektor berechnet:
0,025·100 + 0,875·220 + 0·300 = 195
Die Anzahl der 265 Elefantenkühe ergibt sich entspechend aus dem Skalarprodukt der dritten Matrixzeile mit dem Bestandsvektor.
Anmerkung:
Von den 100 Jungtieren werden 2,5% zu Bullen. Rechnerisch sind das 2½Tiere.
Von den 220 Bullen überleben 87,5%, rechnerisch also 192½Tiere.
Es gibt aber keine halben Tiere.
Wir rechnen hier wir mit einem mathematischen Modell, dass die Anzahlen der Tiere im jeweiligen
Jahr vielleicht recht gut wiedergeben kann - aber nicht unbedingt auf ein Tier genau.
Vielleicht wachsen drei Jungtiere zu Bullen heran und nur 192 der alten Bullen überleben.
Dieses Modell liefert im Produkt Ergebnisvektor = Matrix × Startvektor immerhin noch ganzzahlige Werte
im Ergebnisvektor. Wenn das nicht der Fall ist, wird man die Bestände runden.
Dazu gibt es den Hinweis zum Aufgabenteil c).