Arbeitsblatt 5

Thema: Lineare Algebra

Schmetterling

Aufgabe 5

In einem Hochgebirgstal einer Insel in der Südsee leben das ganze Jahr über die hübschen Theamiktam-Schmetterlinge auf blühenden Wiesen.
Ihr Lebenszyklus vollzieht sich in vier (etwa ein Jahr lang dauernden) Entwicklungsstadien:

E R P S 0,01 0,20 0,50 1000
  1. Von den Eiern entwickeln sich 1% zu Raupen. Die übrigen werden von Vögeln und Käfern gefressen. Die Überlebens- oder Übergangsrate ist also a1 = 0,01.
  2. Von den Raupen entwickeln sich 20 Prozent zu Puppen, die anderen werden gefressen. Die Überlebensrate beträgt also a2 = 0,20.
  3. Nur 50% der Puppen überleben und entwickeln sich zu Faltern. Die übrigen 50% dienen Fressfeinden als Nahrung. Hier beträgt die Überlebensrate also a3 = 0,50.
  4. Ein Falter legt 1000 Eier und stirbt danach. Die Vermehrungsrate beträgt also v4 = 1000.

Die Populationsmatrix \(L\) hat die Form \[ \begin{array}{rcl} & \color{blue}\text{von} & \\ \begin{array}{r} \\ \color{blue}\text{nach} \quad \begin{matrix} \color{blue}E \\ \color{blue}R \\ \color{blue}P \\ \color{blue}S \end{matrix} \color{black}\left(\begin{matrix}\! \\ \! \\ \! \\ \! \end{matrix}\right. \end{array} & \begin{matrix} \color{blue}E & \color{blue}R & \color{blue}P & \color{blue}S\\ v_1 & v_2 & v_3 & v_4\\ a_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{array}{l} \\ \left.\begin{matrix} \! \\ \! \\ \! \\ \! \end{matrix} \right) \end{array} \end{array} \] In dieser Matrix stehen die Elemente \(v_i \;(i=1, 2, 3, 4) \) für die Vermehrungsraten und die Elemente \(a_i \;(i=1, 2, 3) \) für die Übergangsraten.
Das besondere ist hier, dass jede "Klasse" (Eier, Raupen, Puppen) beim Entwicklungsschritt in die nächste Klasse aufrückt und kein Individuum in seiner Klasse verbleibt.
Eine Populationsmatrix von dieser Form heißt Leslie-Matrix.

  1. Ersetzen Sie in der allgemeinen Leslie-Matrix die Variablen durch die Zahlenwerte aus dem Aufgabentext.
    Lösungshinweis a)
  2. Das Biologenteam, das die Schmetter­lings­population untersucht, schätzt den derzeitigen Bestand auf 60 000 Eier, 500 Raupen, 80 Puppen und 70 Schmetter­linge.
    Berechnen Sie den Bestand nach einem Jahr.
    Lösungshinweis b)
  3. Berechnen Sie den Bestand nach zwei, drei und vier Jahren.
    Lösungshinweis c)
  4. Falls Sie es nicht schon in Teil c) gemacht haben: Berechnen Sie die Matrix \(L^4\) und begründen Sie damit, warum der Bestand nach 4 Jahren wieder genauso groß ist wie zu Anfang.
    Lösungshinweis d): Siehe Lösungshinweis c)
  5. Die vielen Eier sind tatsächlich gut versteckt und eingentlich kaum richtig zu zählen. Die Biologen haben aber die Raupen und Puppen genauer gezählt und dabei festgestellt, dass die Überlebens- oder Übergangsrate von Raupen zu Puppen nicht 20%, sondern 25% beträgt.
    Trotzdem beobachten sie, dass sich die Zahlen der Population immer noch alle 4 Jahre wiederholen.
    Deshalb gehen Sie davon aus, dass ihr mathematisches Modell mit der Leslie-Matrix im Prinzip richtig ist.
    Berechnen Sie, auf welchen Wert die Vermehrungsrate \(v_4\) korrigiert werden muss, wenn die die Übergangsrate \(a_2\) von Raupen zu Puppen auf 0,25 erhöht wird und der Bestand sich trotzdem alle 4 Jahre wiederholt.
    Lösungshinweis e)

A: v4 =750  B: v4 = 800
C: v4 = 1000 D: v4 = 1250

Bildquelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lycaena_dispar02.jpg

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