Arbeitsblatt 6

Thema: Lineare Algebra

Abbildung: 2D_Entwurf



Die Form eines Leucht­turms wird zunächst zwei­dimensional in der xy‑Ebene entworfen. Der Punkt C hat die Koordi­naten C = (−5|21| 0).
Der Punkt hat also den Ortsvektor \(\vec{c}=\small{\begin{pmatrix}-5\\21\\0\end{pmatrix}}\)

Um die Punkte B, C, D und E aus der xy‑Ebene in die xz‑Ebene zu bewegen, kann man die zugehörigen Ortsvektoren mit einer geeigneten Matrix multiplizieren, so dass die y- und die z‑Koordinate vertauscht werden.

Abbildung: Leuchtturm mit Lichtstrahl

Aufgabe 6

  1. Bestimmen Sie eine Matrix M, für die gilt
    \(\small{ \begin{pmatrix} \Box \ \Box \ \Box \\ \Box \ \Box \ \Box \\ \Box \ \Box \ \Box \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 21 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 21 \end{pmatrix} }\) oder allgemein: \(\small{ \begin{pmatrix} \Box \ \Box \ \Box \\ \Box \ \Box \ \Box \\ \Box \ \Box \ \Box \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \\ b \end{pmatrix} }\)
    Tipp:
    Gehen Sie von der Einheitsmatrix aus und verschieben Sie zwei der drei Einsen.
     
  2. Der Leuchtturmwärter steht auf der Galerie am Geländer bei Punkt C'(-5| 0|21).
    Er geht gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α am Geländer entlang.
    Diese Bewegung kann durch Multiplikation des Ortsvektors von C' mit der Matrix \( M_{\alpha} = \small{ \begin{pmatrix} \cos(\alpha)\; & -\sin(\alpha)\; & 0 \\ \sin(\alpha)\; & \cos(\alpha)\; & 0 \\ 0 \; & 0\; & 1 \end{pmatrix} }\)
    beschrieben werden.
    Er geht von C' um 216,87° am Geländer entlang.
    Berechnen Sie, an welchem Punkt C" er sich dann befindet.
A: ( 4 | 3 | 21 ) B: (−4 | 3 | 21 )
C: ( 4 |−3 | 21 ) D: ( 3 | 4 | 21 )

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