Arbeitsblatt 3

Drohne

Für das Steigen bzw. Sinken einer Drohne ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm gegeben: x‑Achse: Zeit in Sekunden y‑Achse: Geschwindigkeit in m/s

Koordinatendiagramm

Aufgabe 3

Beachten Sie, dass der Graph die (vertikale) Geschwin­dig­keit und nicht die Höhe der Drohne angibt.

  1. Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt die Drohne die maximale Steiggeschwindigkeit hat.
     
  2. Beschreiben Sie die Bewegung für den gesamten Zeitabschnitt, in dem die Drohne steigt.
     
  3. Beschreiben Sie die Bewegung der Drohne im Zeitintervall [8s;12s].
     
  4. Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt die Drohne ihre größte Höhe erreicht hat.
     
  5. Wie weit sich die Drohne vom Piloten horizontal entfernt, ist hier nicht Gegenstand der Untersuchung. Es wird nur die vertikale Geschwindigkeit betrachtet. Die Funktion, mit der diese vertikale Geschwin­dig­keit beschrieben werden kann, ist \[ f(t)= -\frac{1}{1280} t^5 + \frac{1}{40} t^4 - \frac{21}{80} t^3 + \frac{9}{10} t^2 \] oder \[ f(x)= -\frac{1}{1280} x^5 + \frac{1}{40} x^4 - \frac{21}{80} x^3 + \frac{9}{10} x^2 \] Wo liegen die Extrema dieser Funktion? Vielleicht meinen Sie, dass die Extremstellen aus der graphischen Darstellung abgelesen werden können – aber wie genau ist das möglich?
    Sie haben im Mathematikunterricht gelernt, dass Sie zur Berechnung der Extremstellen die erste Ablei­tung der Funktion gleich Null setzen müssen.
    1. Schreiben Sie die Funktionsgleichung für die Ableitung auf.
    2. Setzen Sie die Ableitung gleich Null.
    3. Geben Sie an, von welchem Grad diese Gleichung ist.
    4. Da die Gleichung nicht vom Grad 2 ist (also keine quadratische Gleichung ist), können Sie diese Gleichung nicht mit einfachen Mitteln (p-q-Formel) lösen. Lösen Sie die Gleichung mit dem Taschenrechner!
      Anleitung für Casio-TR
    Vergleichen Sie die mit dem Taschenrechner ermittelten Lösungen mit den Extremstellen am Graphen (korrigieren Sie ggf. Ihre Eingaben, beachten Sie ggf. die Vorzeichen).
     
  6. Geben Sie an, wie bei Extremstellen die Unterscheidung zwischen Hoch- und Tiefpunkten rechnerisch erfolgt.
     
  7. Schätzen Sie anhand der Größe der Fläche zwischen dem Graphen und der x‑Achse ab, welche Höhe die Drohne nach 8s erreicht hat.
     
  8. Finden Sie eine Stammfunktion \(F(x)\).
    Das ist eine Funktion, die abgeleitet \(f(x)\) ergibt.
     
  9. Mit der Stammfunktion F(x) aus Teil h) haben Sie zugleich auch eine Funktion s(t), die die Höhe der Drohne über dem Punkt des Abflugs beschreibt.
    Berechnen Sie mit Hilfe dieser Funktion, in welcher Höhe sich die Drohne zu den Zeitpunkten 8s und 12s befindet. Wie viel Höhe verliert die Drohne in dem Zeitintervall von 8s bis 12s?
      Lösungshinweis

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