Arbeitsblatt 25

Thema: Normalenform der Ebenengleichung

Mit dieser Aufgabe lernen Sie eine neue Form der Ebenengleichung kennen.

Der Normalenvektor \(\vec{n}\) steht senkrecht zu jedem Vektor \(\vec{w} = \overrightarrow{AP}\), wobei A der Stützpunkt der Ebene und P ein beliebiger Punkt in der Ebene ist.
Selbst wenn P mit A zusammenfällt, und der Vektor \(\overrightarrow{AP}\) dadurch zum Nullvektor wird, bleibt diese Orthogonalität erhalten.
Das Skalarprodukt von \(\overrightarrow{AP}\) und dem Normalenvektor der Ebene ist also immer 0, egal wo in der Ebene der Punkt P liegt.
Würde P jedoch außerhalb der Ebene liegen, wäre das Skalarprodukt nicht mehr 0. Das bedeutet:
\(\vec{n}\perp\overrightarrow{AP}\), und somit \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP} = 0\), gilt genau für alle Punkte der Ebene und nur für diese Punkte, aber nicht für Punkte außerhalb der Ebene. Damit ist diese Gleichung geeignet, um die Ebene zu beschreiben.
Wenn der Ortsvektor des beliebigen Punktes der Ebene mit \(\vec{x}\) und der Stützvektor mit \(\vec{a}\) bezeichnet wird, kann der Vektor von A nach P durch \(\overrightarrow{AP} = \vec{x} - \vec{a} \) beschrieben werden.

Die Normalenform der Ebenengleichung lautet \[E:\quad \vec{n}\cdot \left[\vec{x}-\vec{a}\right]= 0\] Wenn der Stützvektor \(\vec{a}=\small{\left(\matrix{0,75\\0,2\\0,6}\right)}\) und der Normalenvektor \(\vec{n}=\small{\left(\matrix{1\\-0,75\\1,5}\right)}\) ist, lautet die Ebenengleichung also \[ E:\quad \small{\left(\matrix{-1\\-0,75\\1,5}\right)} \normalsize \cdot \left[\vec{x}- \small{\left(\matrix{0,75\\0,2\\0,6}\right)} \normalsize \right] = 0 \]

Aufgabe 25
In der Abbildung haben die Punkte die Koordinaten A = ( 0,75 | 0,2 | 0,6 ), B = ( 0,75 | 2 | 1,5 ), C = (−1,5 |−1 | 1,5 ).

  1. Berechnen Sie zwei Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) der Ebene, sowie einen Normalenvektor \(\vec{m}\).
     
  2. Wahrscheinlich werden sich die Koordinaten Ihres Normalenvektors \(\vec{m}\) von denen des Normalenvektors \(\vec{n}\) im obigen Beispiel unterscheiden.
    Berechnen Sie den Faktor \(k\), mit dem Sie den oben verwendeten Normalenvektor multiplizieren müssen, um auf Ihren zu kommen.
    (Im Einführungsbeispiel wurde der Normalenvektor verkleinert, damit er besser in der Abbildung dargestellt werden kann.)
     
  3. Schreiben Sie zum Vergleich die Ebenengleichung einmal in der Parameterform und einmal in der Normalenform auf.
    Prüfen Sie dann, ob der Punkt D = (−2,1 | 0,6 | 2,7 ) in der Ebene enthalten ist, indem Sie seine Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzen.
    Sie werden erkennen, dass die Normalenform hier vorteilhaft ist.
  4. Weisen Sie nach, dass der Punkt F = (−1,7 | 1,2 | 2,7 ) nicht in der Ebene enthalten ist.
A: \(k=2,7\) B: \(\vec{n}\cdot k = \vec{m}\)
C: F ∉ E D: D ∈ E

(Ich denke, alle Antworten sind richtig)

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