Arbeitsblatt 26

Thema: Normalenform der Ebenengleichung

Aufgabe 26
Gegeben sind die Punkte A = ( 8| 9| 3), B = ( 4| 8| 5) und C = (10| 4| 6).
Durch diese drei Punkte ist eine Ebene \(E\) eindeutig festgelegt.

Abbildung: Ebene_1 im Raum

In der Abbildung ist ist nur ein Ausschnitt der unbegrenzten Ebene dargestellt.

  1. Stellen Sie die Parameterform der Ebenengleichung auf.
     
  2. Berechnen Sie einen Normalenvektor für die Ebene und stellen Sie die Normalenform der Ebenengleichung auf.
     

Eine Gerade mit der Gleichung \[ g: \quad \vec{x} = \left(\small{\begin{matrix}-1\\3\\3,5\end{matrix}}\normalsize \right) + r \cdot \left(\small{\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\normalsize \right), \; r \in \mathbb{R} \] schneidet die Ebene in einem Punkt S.

Abbildung: Ebene_1 im Raum
  1. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene.
    Verwenden Sie dazu die Normalenform der Ebenengleichung.
    Ersetzen Sie in dieser den Vektor \(\vec{x}\) durch den Term aus der Geradengleichung.
    Alternativ können Sie auch zuerst den nächsten Aufgabenteil bearbeiten und die Terme aus der Geradengleichung in die Koordinaten­form der Ebenen­gleichung (s.u.) einsetzen.
     
  2. Die Normalenform der Ebenengleichung \[E:\quad \vec{n}\cdot \left[\vec{x}-\vec{a}\right]= 0\] kann ausmultipliziert werden zu \[E:\quad \vec{n}\cdot\vec{x} - \vec{n}\cdot\vec{a}= 0 \Leftrightarrow E:\quad \vec{n}\cdot\vec{x} - \vec{n}\cdot\vec{a}= 0\] Setzen Sie in der letzten Gleichung für \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) die bekannten Koordinaten ein und ersetzen Sie \(\vec{x}\) durch \(\vec{x}= \left(\small{\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}}\normalsize \right)\),
    Multiplizieren Sie dann beide Skalarprodukte aus: Sie erhalten auf diese Weise die Koordinatenform der Ebenengleichung.
A: B:
C: D:

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