Arbeitsblatt 18

Thema: Ebenen in vektorieller Parameterform

Aufgabe 18
Gegeben sind die Punkte A = ( 8| 9| 3), B = ( 4| 8| 5) und C = (10| 4| 6).
Durch diese drei Punkte ist eine Ebene \(E\) eindeutig festgelegt. Gesucht ist eine Gleichung (in vektorieller Form) für diese Ebene.

In der Abbildung ist ist nur ein Ausschnitt der unbegrenzten Ebene dargestellt.

Wenn Sie nicht mehr ganz wissen, wie die Gleichung aufgestellt wird, bedenken Sie zunächst einfach einmal, wie Sie den Weg vom Koordinatenursprung zum Punkt P in der Ebene beschreiben können:
Vom Ursprung geht es mit dem Vektor \(\vec{a}\) zum Punkt A. Dieser Vektor ist der Stützvektor.
Vom Punkt A geht es in Richtung des Vektors \(\vec u\) (Richtungsvektor), und zwar um das 1,5-fache dieses Richtungsvektors.
Dabei ist \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\).
Außerdem geht es noch ein kleines Stück in Richtung des Richtungsvektors \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\).
Der Punkt P wird also vom Ursprung aus erreicht mit der Vektorsumme
\(\vec{x}=\vec{a} + 1,5\cdot \vec{u} + 0,25 \cdot\vec{v}\)
Statt der Zahlen 1,5 und 0,25 setzen Sie \(s\) bzw. \(t\) ein, und die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ersetzen sie durch die Darstellung mit drei Komponenten.

Berechnen Sie die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\).
Stellen Sie die Gleichung der Ebene \(E\) auf.
Berechnen Sie die Koordinaten des eingezeichneten Punktes \(P\).

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