Arbeitsblatt 9

Thema: Skalarprodukt von Vektoren

Die über 500 Jahre alte Dorfkirche ist ziemlich ver­fal­len und endlich sollen der Turm und das Kir­chen­schiff ein neues Dach erhalten.

Es sind keine Original-Bau­zeich­nun­gen zu fin­den ge­we­sen. Jedoch hat ein Chronist über den Turm be­rich­tet, dass … das Turmdach eine Pyramide mit qua­dra­ti­scher Grund­fläche ist, deren Höhe genau doppelt so groß ist wie die Seiten­länge des Quadrats.

Der Zimmermann, der den neuen Dach­stuhl für das marode Turm­dach bauen soll, möchte wissen, unter wel­chem Winkel sich die schräg nach oben ver­lau­fen­den Kanten der Pyramide an ihrer Spitze schneiden.

Aufgabe 9

Das Koordinatensystem wird so gesetzt, dass die Turmspitze auf der z-‍Achse liegt.
Die Pyramidenpunkte sind dann A = ( 2 | 2 | 8 ), B = (−2 | 2 | 8 ), C = (−2 |−2 | 8 ), D = ( 2 |−2 | 8 ) und Z = ( 0 | 0 |16 ).

  1. Schreiben Sie die Vektoren für die schrägen Kanten der Pyramide mit ihren jeweiligen Komponenten auf, verwenden Sie folgende Bezeichnungen:
    \(\vec{a} = \overrightarrow{ZA}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{ZB}\), \(\vec{c} = \overrightarrow{ZC}\), \(\vec{d} = \overrightarrow{ZD}\).
     
  2. Berechnen Sie die Längen der vier Vektoren.
     
  3. Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes die Größe des Winkels, den die beiden Vektoren \(\vec{c}\) und \(\vec{d}\) einschließen.
A: \(\vec{c}\cdot\vec{d}=64\) B: α ≈ 27,3°
C: cos(α) = 8⁄9 D: \(|\vec{a}|=\sqrt{72}\)

Stimmen hier ausnahmsweise alle Antworten, oder ist eine falsch?

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