Arbeitsblatt 8

Thema: Skalarprodukt von Vektoren, beliebige Winkel

Keiner der beiden Vektoren ist ein Nullvektor. Sie bilden einen Winkel, der nicht 90° ist.
Das Skalarprodukt ist daher nicht 0.
Hat das Skalarprodukt dann überhaupt eine brauchbare Bedeutung?
Eindeutig JA! Denn es gilt

\(\quad \vec{u}\cdot\vec{v} = \vert\vec{u}\vert \cdot \vert\vec{v}\vert \cdot \cos(\alpha) \quad\)

Dabei ist \(\alpha\) der von den beiden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) eingeschlossene Winkel.

Hier ist z.B. \(\vec{u}=\small{\left(\matrix{-5 \\ -2,1}\right)}\), \(\vec{v}=\small{\left(\matrix{ 2 \\ -5,1}\right)}\)
und das Skalarprodukt ist \( \vec{u}\cdot\vec{v} = \small{ \left(\matrix{-5 \\ -2,1}\right) \cdot \left(\matrix{ 2 \\ -5,1}\right) } \normalsize{\; = \; 0,71 } \)

Die Beträge sind \(\vert\vec{u}\vert = \sqrt{29,41} \approx 5,423 \) und \(\vert\vec{v}\vert = \sqrt{30,01} \approx 5,478 \)

In die obige Formel eingesetzt, ergibt sich \[ \begin{align} 0,71 & = \sqrt{29,41} \cdot \sqrt{30,01} \cdot \cos{\alpha} \\ \cos(\alpha) & = \frac{0,71}{\sqrt{29,41} \cdot \sqrt{30,01}} , \quad \cos(\alpha) \approx 0,0239 \\ \alpha & = \cos^{-1} \left( \frac{0,71}{\sqrt{29,41} \cdot \sqrt{30,01}} \right) \\ \alpha & \approx 88,63° \end{align} \]

Natürlich kann die oben stehende Formel auch nach cos(α) aufgelöst werden zu

\(\quad \cos(\alpha) = \displaystyle \frac {\vec{u}\cdot\vec{v}} {\vert\vec{u}\vert \cdot \vert\vec{v}\vert} \quad\)

In der unten stehenden Aufgabe kann die eingerahmte Formel wie im Beispiel angewendet werden.
Einen Beweis für diese Formel können Sie sich hier ansehen: Beweis.

Aufgabe 8

Das Skalarprodukt hat in der Analytischen Geometrie eine sehr große Bedeutung. Immer (manche meinen: fast immer), wenn es darum geht, Winkel zu berechnen, kann das Skalarprodukt wie in der obigen Formel verwendet werden.
Berechnen Sie für die folgenden Vektorpaare den Winkel, in dem die Vektoren zueinander stehen.

Prüfen Sie zunächst, ob das Skalarprodukt 0 ist – dann können Sie den Winkel ohne weitere Rechenschritte sofort angeben.
Wenn das Skalarprodukt nicht 0 ist, dann ist es entweder positiv oder negativ.
Finden Sie heraus, welche Information über die Größe des Winkels Sie aus dem Vorzeichen des Skalarprodukts ableiten können.

\(\quad \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{v} = \pmatrix { 4 \\ -3 \\ 12} \)
\(\quad \vec{u} = \pmatrix { 14 \\-2 \\ 19} \quad \vec{v} = \pmatrix { -2 \\ 5 \\ 2} \)
\(\quad \vec{a} = \pmatrix { 5 \\-7 \\ 1} \quad \vec{b} = \pmatrix { 1 \\ 5 \\ 1} \)
\(\quad \vec{a} = \pmatrix { 7 \\ 1 \\ 5} \quad \vec{b} = \pmatrix {-1 \\ 5 \\ 1} \)

	A:				B:

	C:				D:

Arbeitsblatt 8

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