Beweis der Formel \(\quad \vec{u}\cdot\vec{v} = \vert\vec{u}\vert \cdot \vert\vec{v}\vert \cdot \cos(\alpha) \quad\)

1. Wenn einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist, dann ist das Skalarprodukt auf der linken Seite der Gleichung 0.
   Auf der rechten Seite ist dann einer der Vektorbeträge 0 und somit auf der rechten Seite auch das ganze Produkt 0.
   Die Gleichung gilt also in diesem Fall.
    
2. Wenn nicht der Fall 1 vorliegt, sind die Längen beider Vektoren größer als 0.
   Wir betrachten den Fall, dass die beiden Vektoren einen Winkel α einschließen, für den 0° ≤ α ≤ 180° gilt.
   Dann gilt nach dem Kosinussatz:
   \(\vec{v}\)

   \(\vec{u}\)

   \(\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}\)
   
   
   \( \begin{align} \text{(I)} \quad &\left|\vec{w}\right|^2 = \left|\vec{u}\right|^2 + \left|\vec{v}\right|^2 - 2 \cdot \left|\vec{v}\right| \cdot \left|\vec{v}\right| \cdot \cos(\alpha) \end{align} \),
   
   wobei α der von den beiden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) eingeschlossene Winkel ist.
   
   Mit \(\vec{u}= \left(\matrix{u_1 \\ u_2 \\ u_3}\right) \), \(\vec{v}= \left(\matrix{v_1 \\ v_2 \\ v_3}\right) \) und \( \vec{w}=\vec{u}-\vec{v} = \left(\matrix{u_1-v_1 \\ u_2-v_2 \\ u_3-v_3}\right) \) wird Gleichung (I) zu
   
   \( \begin{align}\text{(II)} \quad &(u_1-v_1)^2 + (u_2-v_2)^2 + (u_3-v_3)^2 \\ &\quad\quad\quad = ~ {u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 + {v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2 \\ &\quad\quad\quad\quad - ~ 2 \cdot \left|\vec{v}\right| \cdot \left|\vec{v}\right| \cdot \cos(\alpha) \end{align} \)
   
   Nach dem Ausmultiplizieren auf der linken Seite (2. binomische Formel) heben sich die quadratischen Terme auf beiden Seiten der Gleichung auf. Daher erhält man
   
   \( \begin{align}\text{(III)} &\quad -2 u_1 v_1 -2 u_2 v_2 -2 u_3 v_3 \\ &\quad\quad\quad\quad = ~ - ~ 2 \cdot \left|\vec{v}\right| \cdot \left|\vec{v}\right| \cdot \cos(\alpha) \end{align} \)
   
   Nun werden beide Seiten durch (−2) geteilt, so dass bleibt
   
   \( \begin{align}\text{(IV)} &\quad u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = \left|\vec{v}\right| \cdot \left|\vec{v}\right| \cdot \cos(\alpha) \end{align} \)
   
   Die linke Seite stellt aber nun gerade das Skalarprodukt von \(\vec u\) und \(\vec v\) dar. Also gilt
   
   \( \begin{align}\text{(V)} &\quad \vec{u} \cdot \vec{v} = \left|\vec{v}\right| \cdot \left|\vec{v}\right| \cdot \cos(\alpha) \end{align} \) q.e.d.
   
   

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