Arbeitsblatt 5

Thema: Betrag eines Vektors

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In den folgenden Aufgaben wird oft die Länge eines Vektors benötigt. Die Länge eines Vektors wird auch als Betrag des Vektors bezeichet, sie wird deshalb durch Betragstriche gekennzeichnet.

In der Abbildung ist A = ( 2|−4| 1) und B = (−1| 1| 3). Somit gilt für den Vektor \(\vec{u}\) von A nach B \[\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\left(\matrix{-3 \\ 5 \\ 2}\right)\] Mit anderen Worten: Von A gelangt man zu B, indem man 3 Einheiten in Richtung der negativen x-Achse, 5 Einheiten in Richtung der y-Achse und 2 Einheiten nach oben in Richtung der z-Achse geht.
Die Länge oder der Betrag des Vektors von A nach B entspricht der Entfernung von A nach B als Luftlinie, also der Länge des kürzesten Weges von A nach B.

Für die Berechnung dieser Länge gilt: \[ |\vec{u}| = \left|\left(\matrix{u_x \\ u_y \\ u_z}\right)\right| = \sqrt{ {u_x}^2 + {u_y}^2 + {u_z}^2 } \]

Im obigen Beispiel ist also \[ |\vec{u}| = \sqrt{ (-3)^2 + 5^2 + 2^2 } = \sqrt{ 38 } \approx 6,16 \]

Beachten Sie die Klammern beim Quadrieren von negativen Zahlen.
Tipp: Ignorieren Sie die Vorzeichen beim Berechnen einer Vektorlänge. Beim Taschenrechner geben Sie statt (−3)^2 einfach nur 3^2 ein.

Wenn Sie an einer Herleitung für diese Formel interessiert sind, klicken Sie hier: Herleitung

Aufgabe 5
Berechnen Sie die Längen bzw. Beträge der folgenden Vektoren:

  1.   \( \vec a = \left( \begin{array} {c} 12 \\ -4 \\ 3 \end{array} \right)\)
  2.   \( \vec b = \left( \begin{array} {c} 2,8 \\ 9,6 \\ -6 \end{array} \right)\)
  3.   \( \vec c = \left( \begin{array} {c} 2,4 \\ -3,2 \\ 3,0 \end{array} \right)\)
  4. Welchen Abstand haben die Punkte B = (−1| 1| 3) und C = ( 4| 8| 5) voneinander?

Eine der vier Lösungen ist falsch:

A: \( |\vec {a}| = \) 13 B: \( |\vec {b}| = \) 8
C: \( |\vec {c}| = \) 5 D: \( |\vec {d}| = \sqrt{78} \approx 8,83 \)

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