Arbeitsblatt 6

Thema: Skalarprodukt von Vektoren, rechte Winkel

Rechte Winkel sind in der Geometrie von großer Bedeutung.
In der 2-dimensionalen Koordinaten­ebene ist es einfach, zu einem Vektor, z.B. \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \), einen orthogonalen Vektor zu konstruieren:

orthogonale Vektoren

Offensichtlich braucht man nur die Komponenten 3 und 2 zu vertauschen und an einer Stelle das Vorzeichen umzukehren.
So erhält man \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} -2 \\ 3 \end{array} \right) \) und es gilt \(\vec{b}\perp\vec{a}\).

Betrachtet man die Vektoren \(\left( \begin{array} {c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \) und \(\left( \begin{array} {c} -2 \\ 3 \end{array} \right) \), so fällt vielleicht auf, dass beim zeilenweisen Multiplizieren 3·(−2)=−6 und 2·3=6 die Summe −6+6=0 ergibt.

Auch bei einer anderen Länge des Vektors \(\vec{b}\) würde die entsprechende Summe 0 ergeben:
Mit der doppelten Länge erhielte man 6·(−2) + 4·3 = −12+12 = 0.

Allgemein lässt sich feststellen:
Wenn für zwei Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \) und \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) \) gilt, dass \(a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 0\) ist, so stehen die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) zueinander im rechten Winkel.

Der berechnete Term \(a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\) wird als Skalarprodukt bezeichnet.

Im folgenden soll nun untersucht werden, ob auch bei Vektoren im 3-dimensionalen Raum dieser Zusammenhang zwischen Orthogonalität und Nullwert des Skalarprodukts besteht. Dazu gilt die
\( \text{Definition: } \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array} {c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} {c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \)

Aufgabe 6

orthogon. Vektoren

Gegeben sind die drei Punkte A=(−4 |−2 | 3), B=( 3 | 1 | 2) und C=(−1 | 3 | 1).

  1. Stellen Sie alle drei Seiten durch Vektoren dar.
  2. Berechnen Sie aus jeweils zwei Vektoren das Skalarprodukt.
  3. Berechnen Sie die Längen der drei Vektoren und untersuchen Sie mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Tatsächlich ist eine der folgenden Aussagen falsch:

A: \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\) B: \(|\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2\)
C: γ = 90° D: \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)

(Bei Dreiecken wird der Winkel bei A mit α, der Winkel bei B mit β und der Winkel bei C mit γ [gamma] bezeichnet)

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