Arbeitsblatt 1

In der Analytischen Geometrie werden Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im 2- oder 3-dimensionalen Raum betrachtet, sowie die Lagebeziehung dieser Objekte zueinander.

Aufgabe 1
„Das Rätsel der Hexe“

„Vernehmt meine Worte: Begebt euch von diesem Topf zu einem entfernten Punkt. Schickt von dort einen zu diesem Topf. Wenn er hier ist, wende er sich nach rechts und gehe noch einmal die gleiche Strecke.
Nun schickt einen anderen zu jenem Topf (sie weist auf einen weit entfernten umgestoßenen Topf). Wenn er dort ist, wende er sich nach links und und gehe noch einmal dieselbe Schrittzahl.
Nun sollen beide aufeinander zugehen, an ihrem Treffpunkt ist mein Dank an euch vergraben.“

So sprach die gute Hexe zu ihren Freunden, den sieben Zwergen.

Nehmen Sie an, die Töpfe befinden sich an den Positionen A = (−2 | 2) und B = ( 3 ‍|‍ 1).
Die Hexe macht keine Angabe, wo der „entfernte Punkt“ liegen sollte. Die Zwerge suchen sich z.B. den Punkt C = ( 2 | 3) aus.

Während Punkte die orstfesten Positionen beschreiben, können Wegbeschreibungen als Vektoren dargestellt werden.
Für den Weg vom entfernten Punkt C zum ersten Topf bei A lautet die Wegbeschreibung in Worten: „Gehe 4 Einheiten in Richtung der negativen x-Achse und 2 Einheiten in Richtung der negativen y-Achse“.
Als Vektor geschrieben: \(\vec u = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -1 \end{array} \right) \)

Der Zwerg, der vom entfernten Punkt zum Topf 1 gegangen ist, soll dort nach rechts drehen und noch einmal genauso weit gehen.
Es kann nur eine 90°-Drehung gemeint sein, sonst hätte der Winkel genauer angegeben werden müssen.

Abbildung 05a
  1. Begründen Sie, dass der erste Zwerg von Topf 1 aus einen Weg geht, der durch den Vektor \(\vec u \:' = \left(\begin{array}{c} -1 \\ +4 \end{array} \right) \) beschrieben wird, und notieren Sie den Punkt P, bei dem er schließlich ankommt.
  2. Stellen Sie den Vektor \( \vec v \) auf, der den Weg des zweiten Zwergs vom entfernten Punkt zum Topf 2 beschreibt.
  3. Überlegen Sie sich nun, wie der Vektor \( \vec {v} \:' \) aussehen muss, der den weiteren Weg dieses Zwerges nach seiner Linksdrehung beschreibt.
    Notieren Sie den Punkt Q, bei dem er schließlich ankommt.
  4. Nachdem die beiden Zwerge die Punkte P und Q erreicht haben, sollen sie aufeinander zugehen.
    Es ist davon auszugehen, dass sie gleich schnell gehen und sich deshalb genau in der Mitte zwischen P und Q treffen im Punkt S treffen, bei dem der Schatz vergraben liegt.

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S oder lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch. Der Schatz liegt vergraben in Punkt …

A: S = ( 1 | 4 ) B: S = ( 2 | 3 )
 
C: S = ( 4 | 1 ) D: unbestimmt

Die beiden Töpfe stehen ja wohl fest irgendwo auf dem Acker.
Aber die Position des „entfernten Punktes“ scheint beliebig zu sein.
Führen die Wege der Zwerge am Ende zu demselben Punkt S, wenn sie sich den „entfernten Punkt“ woanders suchen?
Wenn Sie diese Frage mit GeoGebra weiter untersuchen möchten, folgend Sie dem Link
GeoGebra: Schatzsuche

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