Die erste Information ist, dass Kühe, Tische und Hühner zusammen
40 Objekte sind.
Mit den Bezeichnungen \(k \), \(t \) und \(h \) ergibt das als erste
Gleichung
\[ k + t + h = 40 \]
Die zweite Information sagt etwas über die Anzahl der Beine aus.
Die Anzahl von \(k \) Kühen hat insgesamt \(k \cdot 4 \) Beine.
Die Tische haben jeweils drei Beine. Das ist praktisch, so wackeln
sie nicht, wenn der Untergrund etwas uneben ist.
Bei einer Anzahl von \( t \) Tischen gibt es \(t \cdot 3 \) Tischbeine.
Die Hühner haben jeweils zwei Beine, also gibt es \( h \cdot 2 \)
Hühnerbeine.
Da es insgesamt 131 Beine sein sollten, lautet demnach die zweite Gleichung
\[ 4 k + 3 t + 2 h = 131 \]
Die dritte Information ist schließlich, dass die Anzahl von Tischen und Hühnern zusammen die Anzahl der Kühe ergibt, also \[ t + h = k \]
Nach Umstellen der dritten Gleichung haben wir also folgendes Gleichungssystem: \[ \left . \begin{array}{rcrcrcr} k & + & t & + & h & = & 40 & \\ 4k & + & 3t & + & 2h & = & 131 & \\ k & - & t & - & h & = & 0 & \end{array} \right | \begin{array}{l} \; \text{I} \\ \; \text{II} \\ \; \text{III} \end{array} \]
Zum Lösen dieses Gleichungssystems schlage ich vor, das Gauß'sche
Verfahren zu verwenden (ggf. Internet- oder Lehrbuch-Recherche!)
oder einen geeigneten Taschenrechner zu verwenden
(z.B. Casio FX991, siehe auch:
Lineare Gleichungssysteme Casio 991).
Beim Gauß-Verfahren wird in der zweiten und in der dritten Zeile
die Unbekannte \(k\) eliminiert (entfernt):
\[
\left .
\begin{array}{rcrcrcr}
k & + & t & + & h & = & 40 & \\
& - & t & - & 2h & = & -29 & \\
& - & 2t & - & 2h & = & -40 &
\end{array}
\right |
\begin{array}{l}
\; \text{I} \\
\; \text{II} + (-4) \cdot \text{I} \\
\; \text{III} + (-1) \cdot \text{I}
\end{array}
\]
Jetzt enthalten die letzten beiden Gleichungen nur noch zwei Unbekannte. Im nächsten Schritt wird erreicht, dass die letzte Gleichung nur noch eine Unbekannte enthält: \[ \left . \begin{array}{rcrcrcr} k & + & t & + & h & = & 40 & \\ & - & t & - & 2h & = & -29 & \\ & & & + & 2h & = & 18 & \end{array} \right | \begin{array}{l} \; \text{I} \\ \; \text{II} \\ \; \text{III} + (-2) \cdot \text{II} \end{array} \]
Aus der letzten Gleichung lässt sich nun leicht der Wert \(h \)
für die Anzahl der Hühner ermitteln, diesen setzt man dann
in die Gleichung \(\text{II}\) ein, um \(t \) zu bestimmen.
Zum Schluss braucht man nur noch die Werte von \(h \) und \(t \)
in Gleichung \(\text{I} \) einzusetzen, um die gesuchte Anzahl
der Kühe \(k \) zu erhalten.
Wie viele Kühe grasen also auf der Alm?