Anmerkungen zu Aufgabe 25

Das Geben der Karten entspricht dem Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen. X sei die Zufallsgröße, die die Anzahl der gezogenen Buben bei Ziehen von 10 Karten beschreibt.
Ein Pfad, der für 3 gezogenen Buben (und 7 andere Karten) steht, hat die Pfad­wahr­schein­lich­keit

Erklärung: Beim ersten Zug gibt es noch 32 Karten, 4 davon sind Buben, daraus ergibt sich der erste Bruch für die Wahr­schein­lich­keit für das Ziehen eines Buben beim ersten Zug. Beim zweiten Zug gibt es dann nur noch 3 Buben unter den verbliebenen 31 Karten, daraus ergibt sich der Bruch für die Wahr­schein­lich­keit für einen weiteren Buben beim zweiten Zug. Entsprechend ergibt sich die Wahr­schein­lich­keit für noch einen weiteren Buben beim dritten Zug.
Beim vierten Zug soll kein Bube gezogen werden, es gibt noch 28 Nicht-Buben unter den verbliebenen 28 Karten, usw.

Nun müssen die drei Buben natürlich nicht gleich an 1., 2. und dritter Stelle gezogen werden. Sie könnten z.B. ja auch beim 4., 6. und 9. Zug erscheinen. Dann ergibt sich für die Wahr­schein­lich­keit

Das ist aber die gleiche Wahr­schein­lich­keit wie oben, denn nur die Verteilung der Faktoren im Zähler ist hier anders.
Nun stellen wir die Folgen von absteigenden Faktoren mit Hilfe von Fakultäten dar:

Die Anzahl der Pfade mit dieser Wahr­schein­lich­keit entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, die drei Buben auf die 10 Plätze zu verteilen, also 10 über 3, mit Fakultäten geschrieben:

Jetzt brauchen wir nur noch ein wenig umzusortieren:

Damit haben wir nun aber auch die Formel \( P(X=3)=\LARGE{\frac{\binom{4}{3} \cdot \binom{28}{7}}{\binom{32}{10}}} \) nachgewiesen.

Diese Formel wird auch ohne die lange Herleitung durch folgende Interpretation sehr plausibel:
Es gibt \(\large\binom{4}{3}\) Möglichkeiten für die Auswahl der 3 aus den 4 vorhandenen Buben
Es gibt \(\large\binom{28}{7}\) Möglichkeiten, die 7 anderen Karten aus den 28 Nicht-Buben auszuwählen.
Somit gibt es \(\large\binom{4}{3}\cdot\binom{28}{7}\) Möglichkeiten für eine Auswahl von 10 Karten, wenn sich darunter genau drei Buben befinden sollen.

Insgesamt gibt es \(\large\binom{32}{10}\) Möglichkeiten für die Auswahl von 10 aus den 32 Karten.
Da alle diese Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, lässt sich die Wahr­schein­lich­keit als Bruch berechnen:

Im Gegensatz zur Binomialverteilung, die sich beim zufälligen Ziehen mit Zurücklegen ergibt, spricht man hier beim Ziehen ohne Zurücklegen von einer hypergeometrischen Verteilung. In For­mel­samm­lun­gen finden Sie zur Berechnung von Wahr­schein­lich­kei­ten die Formel \[ P(X=m) = \frac{\Large{\binom{M}{m} \cdot \binom{N-M}{n-m}}} {\Large\binom{N}{n}} \] Die Formel nützt nur dann etwas, wenn man weiß, wofür die vielen Variablen stehen.
Ich denke, mit dem Beispiel Skatspiel wird das deutlich:
Es gibt eine Gesamtanzahl von N=32 Karten, von denen insgesamt n=10 zufällig ausgewählt werden, und dafür gibt es \(\binom{N}{n}\) Möglichkeiten (Nenner).
Von den N Karten haben M=4 ein besonderes Merkmal, hier die Eigenschaft Bube. Es geht um die Wahr­schein­lich­keit, dass von den M Karten mit dem besonderen Merkmal m=3 Karten in der Auswahl gezogen werden, und dafür gibt es \(\binom{M}{m}\) Möglichkeiten (Zähler, 1.Faktor)
Um im Beispiel auf die 10 Karten zu kommen, müssen noch n-m=7 Karten aus den N-M=28 Nicht-Buben gezogen werden, und dafür gibt es \(\binom{N-m}{n-m}\) Möglichkeiten (Zähler, 2.Faktor).

zurück zur Aufgabe