Arbeitsblatt 7

Thema: Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Falschgeldautomat

Aufgabe 7
Der Filial­leiter einer Bank erwägt die Anschaffung eines Automaten, der bei großen Anzahlen von Banknoten in kurzer Zeit das Falschgeld aussortiert. Nach vor­liegenden Informa­tionen befinden sich statistisch unter 100.000 Banknoten rund 200 gefälschte.
Es liegen zwei Angebote für Prüf­automaten vor:

Gerät A kostet 8.000.-€ und garantiert laut Beschreibung, dass echte Scheine zu 99,8% richtig erkannt werden und nur 0,2% irrtümlich in den Stapel für Falschgeld ausgeworfen werden. Falschgeld wird ebenso sicher erkannt, nämlich zu 99,8%, d.h. von gefälschten Scheinen landen 0,2% in der Ablage für das echte Geld.

Gerät B kostet zehnmal so viel und scheidet deshalb aus, obwohl es sowohl echte als auch falsche Scheine mit einer Trefferquote von 99,98% richtig erkennt.

  1. Der Filial­leiter ist unsicher, ruft den Praktikanten (Oberstufen­schüler, Mathematik auf erhöhtem Niveau) in sein Büro und sagt: Sie haben es doch sicher in der Schule gelernt. Was bedeutet es, wenn das Gerät A einen Schein als Falschgeld auswirft: Wie wahr­schein­lich ist es dann, dass der Schein wirklich falsch ist?
    Der Praktikant kommt nach einer guten Stunde zu dem Ergebnis, dass ein von Gerät A als Falschgeld ausgeworfener Schein ungefähr mit gleicher Wahr­schein­lich­keit echt oder falsch sein kann.
    Der Filial­leiter ist erst entsetzt und dann begeistert: Wenn die als Falschgeld ausgeworfenen Scheine ebenso gut auch echt sein können, taugt das Gerät ja gar nichts. Wir sparen uns die Ausgabe von 8.000.-€ und belohnen Sie für ihre gute Arbeit mit 100€.

    Versetzen Sie sich in die Rolle des Praktikanten, berechnen Sie die gesuchte Wahr­schein­lich­keit. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis (und Ihre Arbeitszeit!) mit dem des Praktikanten.
     
  2. Der Praktikant prahlt mit dieser Geschichte vor einer Ober­stufen­schülerin einer anderen Schule (Mathematik auf grundlegendem Niveau), die in derselben Bankfiliale ein berufs­vor­berei­ten­des Betrieb­sprakti­kum absolviert.
    Am nächsten Tag bittet sie den Filial­leiter um einen Gesprächstermin.
    Vielleicht sollten Sie Ihre Meinung zum Gerät A noch einmal überdenken.
    Sie hat ausgerechnet, dass im Mittel bei 1.000.000 von dem Gerät geprüften Geldscheinen 996.008 Scheine als echt ausgeworfen werden, davon sind 996.004 Scheine wirklich echt und nur 4 Scheine in Wirklichkeit falsch.
    Außerdem, so sagt sie, sei von den 3.992 als falsch ausgeworfenen Scheinen zwar die Hälfte in Wirklichkeit echt - aber die könne man ja durch das teurere Gerät B in echt und falsch aufteilen lassen. Da von einer Million geprüfter Scheine nur ca. 4.000 noch ein zweites Mal untersucht werden müssen, könne das doch mit einem einzigen teuren Gerät in der Bankzentrale gemacht werden.
    Der Filial­leiter weiß zunächst nicht was er dazu sagen soll. Am nächsten Tag bittet er aber die Praktikantin in sein Büro und überreicht ihr für ihre überzeugende Berechnung 200€.

    Versetzen Sie sich in die Rolle der Praktikantin und überprüfen Sie, ob sie richtig gerechnet hat.
     

Wenn Sie eine 4-Felder-Tafel für Ihre übersichtliche Rechnung in Erwägung ziehen: Vermutlich ist hier eine Tafel mit den absoluten Zahlen für insgesamt 1.000.000 geteste Geldscheine geeigneter als die Tafel mit den relativen Werten.

Wer hat hier nun recht?
Pr = Praktikant, Pin = Praktikantin, FL = Filialleiter

A: FL und Pr B: FL und Pin
C: Pr und Pin D: nur FL

Bild: www.bundesbank.de/
Nov. 2020

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