Einfache Wahrscheinlichkeitsberechnung

Beim Wurf mit einem Würfel sollte jede der Zahlen 1 bis 6 mit der gleichen Wahr­schein­lich­keit auftreten.
Die Wahrscheinlichkeit wird oft als Bruch angegeben. Geht es z.B. darum, eine 5 zu würfeln, so wird der Bruch als Anzahl der günstigen Möglichkeiten geteilt durch Anzahl aller Möglichkeiten definiert.
Die einzige günstige Möglichkeit ist im Beispiel das Werfen einer 5. Ungünstig sind die Würfe von 1, 2, 3, 4 und 6. Alle Möglichkeiten sind zusammen die sechs möglichen Wurfergebnisse.
Die Wahr­schein­lich­keit dafür, eine 5 zu werfen, wird somit als

P(5) =  1—6

angegeben.

Geht es darum, keine 5 zu werfen, so gibt es dafür 5 (günstige) Möglichkeiten. Die Anzahl aller Möglichkeiten ist weiterhin 6, also wird die Wahr­schein­lich­keit dafür, keine 5 zu würfeln, durch

P(nicht 5) = P(¬ 5) =  5—6

beschrieben.

Oft wird die Gesamtheit aller Möglichkeiten mathematisch als Menge dargestellt, hier z.B. als

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Die Ergebnismenge Ω (Omega) hat in diesem Fall 6 Elemente.
Das Ereignis A:Es wurde keine 5 gewürfelt hat z.B. 5 Elemente:

A = {1, 2, 3, 4, 6}

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A ist dann einfach der Bruch
Anzahl der Elemente von A geteilt durch Anzahl der Elemente von Ω.

Die Anzahl der Elemente einer Menge wird in der Mathematik auch als Betrag der Menge bezeichnet und mit Betragstrichen geschrieben. Dann lässt sich die Wahr­schein­lich­keit auch so darstellen:

Ein Zufallsversuch, bei dem jedes Einzelergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, wird als Laplace-Experiment bezeichnet. Die eben angegebene Formel gilt nur bei Laplace-Experimenten.
Laplace-Experimente sind z.B. das Werfen eines Würfels oder einer Münze.

Kein Laplace-Experiment liegt vor, wenn man beim Werfen von zwei Würfeln nur die Augensumme betrachtet und die möglichen Einzelergebnisse durch die 11-elementige Ergebnismenge

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

beschreibt, denn dann sind nicht alle Einzelergebnisse gleich wahr­schein­lich: Die Augensumme 2 tritt als Augensumme nur dann auf, wenn beide Würfel eine 1 zeigen. Die Augensumme 5 hat eine viel größere Wahrscheinlichkeit, da sie auftritt, wenn entweder der eine Würfel 1 und der andere 4 zeigt, aber auch bei 2 und 3, 3 und 2, sowie 4 und 1.
Oft lassen sich die Wahrscheinlichkeiten – wie auch hier – auf die einfacher zu berechnenden Laplace-Wahrscheinlichkeiten zurückführen, wenn man die Ergebnismenge entsprechend wählt.
Hier nimmt man als Ergebnismenge die Menge aller Zahlenpaare, die man übersichtlicher in einer Tabelle als in der Mengenschreibweise darstellt.

Mit Ω = {(1,1), (1,2), … (6,6)}
oder Ω:

	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

kann man schnell erkennen, dass 4 Einzelergebnisse (Elementarereignisse) zu dem Ereignis B: Beim Wurf mit zwei Würfeln beträgt die Augensumme 5 gehören. Die Wahr­schein­lich­keit ist dann

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