Lösungshinweise Aufgabe 2d
Speedy Gonzales
Die Funktion, mit der die Geschwindigkeit bei Speedy Gonzales beschrieben
werden kann, ist eine quadratische Funktion.
Eine quadratische Funktion hat allgemein die Gleichung
v(t) = a · t 2 + b · t + c.
Aus dem Aufgabentext sind drei Punkte der Parabel zu entnehmen.
Setzt man einmal die Koordinaten von jedem Punkt in diese Gleichung ein,
so erhält man drei Gleichungen, mit deren Hilfe man die drei Unbekannten
bestimmen kann:
t = 0:
\[
(\text{I})\quad 1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c
\]
Daraus folgt c = 1.
t = 30:
\[
(\text{II})\quad 1,5 = a \cdot 30^2 + b \cdot 30 + 1
\]
t = 60:
\[
(\text{III})\quad 3 = a \cdot 60^2 + b \cdot 60 + 1
\]
Die Gleichungen (II) und (III) werden umgeformt zu
\[
\begin{align}
900 a + 30 b &= 0,5 \quad &&(\text{II})
\\
3600 a + 60 b &= 2 \quad &&(\text{III})
\end{align}
\]
Dieses Gleichungssystem können Sie lösen.
Multiplizieren Sie z.B. die Gleichung (II) mit (-2) oder mit (-4)
und addieren Sie dazu die Gleichung (III),
oder benutzen Sie Ihren Taschenrechner zum Lösen dieses
linearen Gleichungssystems.
Der zurückgelegte Weg entspricht auch hier wieder der Fläche unter dem Graphen.
Diese Fläche können Sie näherungsweise abschätzen.
Die genaue Berechnung des Flächeninhalts wird schwierig, weil
die obere Begrenzungsline nicht gerade, sondern eine Kurve
ist.
Hier benötigen wir die
Integralrechnung,
in die wir anhand dieser Aufgabe einsteigen.
Es geht in der Integralrechnung unter anderem darum, wie in diesem Beispiel den Flächeninhalt eines Abschnitts zwischen dem Graphen einer Funktion und der x‑Achse zu berechnen.
Wenn Sie die Aufgabe 1 (Fahrradtour) gründlich durchgearbeitet haben,
wissen Sie, dass die
Geschwindigkeits-Zeit-Funktion
die Ableitung der
Orts-Zeit-Funktion ist.
Mit der Parabelgleichung kennen Sie also die Ableitung der
Orts-Zeit-Funktion und können daraus auf
diese gesuchte Funktion kommen.
Die Ableitung der gesuchten Funktion ist eine
ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Die gesuchte Funktion, die den Ort in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt,
wird also eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 sein,
also von der Form
\(
s(t) = k \cdot t^3 ~+~ l \cdot t^2 ~+~ m \cdot t ~+~ n
\).
Finden Sie eine solche Funktion, deren Ableitung die quadratische
Funktion für die Geschwindigkeit von Speedy Gonzales ergibt?
Dann gelingt es Ihnen vielleicht auch noch, mit dieser Funktion
den Ort zu berechnen, an dem sich Speedy Gonzales nach 60s befindet.