Lösungshinweise Aufgabe 32 f

Für die Volumenberechnung kann man sich vorstellen, dass der Körper in Form des hier abgebildeten Antiprismas dadurch entsteht, dass man von einem Quader (oder geraden Prisma) mit quadra­tischer Grundfläche mit der Seitenlänge 6,2 und der Höhe 36 ausgeht.
Das Antiprisma entsteht dann dadurch, dass man dann vier kleine Pyramiden abschneidet.
Diese Pyramiden haben eine dreieckige Grundfläche und die Höhe 36.
Die dreieckige Grundfläche ist 1/8 der Grundfläche des Antiprismas (vgl. Hinweis zu Aufgabenteil a, Skizze).

Das Volumen einer Pyramide wird mit der Formel \[ V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3}\cdot G_{\text{Pyramide}}\cdot h \] berechnet. Anstatt das Volumen der Pyramdie direkt zu berechnen und dann 4-mal vom Quadervolumen abzuziehen, kann man auch so vorgehen: \[ \begin{align} V &= V_{\text{Quader}} - 4\cdot V_{\text{Pyramide}}\\ &= G \cdot h - 4\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot G_{\text{Pyramide}}\cdot h\right)\\ &= G \cdot h - 4\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8} G\cdot h\right)\\ &= G \cdot h - 4\cdot \frac{1}{24}\cdot G\cdot h\\ &= G \cdot h - \frac{1}{6}\cdot G\cdot h\\ &= \frac {5}{6} \; G \cdot h \\ &= \frac {5}{6} \cdot 6,2^2 \cdot 36 \\ &= \frac {5}{6} \cdot 1.383,84 \\ &= 1.153,2 \end{align} \]

Das Volumen des Antiprismas, also des Körpers oberhalb des Sockels, beträgt demnach 1.153,2 Volumeneinheiten.
Da eine Längeneinheit für 10m steht, entspricht eine Volumeneinheit 10m×10m×10m=1000m³. Somit beträgt das Volumen also 1.153.200m³.

zurück zur Aufgabe